lunes, 27 de octubre de 2008

La luz y la bala


Situemos una placa de cristal en la trayectoria de la luz, la velocidad de la luz disminuye puesto que su velocidad es menor que en el vacío; pero, al salir de la placa de cristal vuelve a propagarse a la velocidad aproximada de 300000 Km/s. Sin embargo, ocurre algo muy diferente para una bala. Si ponemos un cajón con arena en el camino de la bala, después de atravesar el cajón la bala disminuye de velocidad. ¿Por qué esta diferencia de comportamiento? Sobre los fotones de la luz hay una fuerza constante permanentemente aplicada, es decir, actúa en todo instante de tiempo. Si actúan otras fuerzas sobre los fotones la fuerza resultante es constante, produciendo la velocidad constante correspondiente a esa fuerza resultante. A cada fuerza resultante le corresponde una única velocidad. En cambio sobre la bala actúa una fuerza constante no permanente, es decir, que está aplicada durante un tiempo determinado, pero se conserva cuando deja de estar aplicada (en ausencia de otras fuerzas). Si actúan otras fuerzas sobre la bala la fuerza resultante es variable, va disminuyendo a medida que transcurre el tiempo y como consecuencia aminora su velocidad. Esto es debido a que la fuerza constante no permanente aplicada sobre la bala en cada instante de tiempo es la fuerza resultante correspondiente a ese tiempo. Todo cuerpo en el que actúe una fuerza constante permanente tiene en este aspecto el mismo comportamiento que la luz.

viernes, 24 de octubre de 2008

El experimento del resorte



Supongamos dos cuerpos de masa Ma y Mb que se encuentran en reposo, por tanto Va = Vb= 0. Accionamos el resorte, y como el momento inicial es nulo, se debe cumplir la ley de conservación: 0 = MaVa´+ MbVb´, es decir, MaVa´= - MbVb´

EXPLICACIÓN

La expresión MaVa´+ MbVb´ = 0 no es correcta en este caso concreto. No se puede utilizar la conservación del momento lineal, ya que hay una fuerza externa aplicada (la fuerza del resorte). Si la cantidad de movimiento inicial de las partículas es nula, no hay interacción entre ellas. Con el resorte estamos aplicando la misma fuerza exterior sobre ambas partículas, aunque de sentidos contrarios. La expresión mencionada anteriormente nos indica que la fuerza exterior aplicada sobre la partícula “a” es igual, en módulo y dirección pero de sentido contrario, a la fuerza exterior sobre la partícula “b”, puesto que se aplica la misma fuerza externa sobre ambas. Lo cual quiere decir que la fuerza se conserva, cuando deja de actuar (es decir, cuando no hay contacto material entre el cuerpo y la fuerza aplicada), en ausencia de otras fuerzas que actúen sobre él. El experimento del resorte parece demostrar que la fuerza constante (en módulo, dirección y sentido) aplicada sobre una partícula es igual al producto de su masa por su velocidad constante. Es una posibilidad que habría que analizar muy seriamente.

jueves, 9 de octubre de 2008

Precesión del perihelio de los Planetas



El avance del perihelio es la rotación lenta del eje mayor de la órbita del Planeta en el mismo sentido que su revolución alrededor del Sol.

La desviación del eje de giro del Sol es lo que produce la rotación lenta, con velocidad angular constante (velocidad lineal media constante), del perihelio de los planetas en el mismo sentido que su revolución alrededor del Sol.Por supuesto es una hipótesis, hasta que no sea rechazada o confirmada por los experimentos.

Tenemos dos sistemas de referencias:

S: sistema de referencia del Sol

S´ : sistema de referencia del planeta

Los dos sistemas de referencias tienen un movimiento relativo de traslación uniforme de velocidad constante V = v0 + vl

v0 = velocidad inicial que tiene el sistema de referencia S´ con respecto de S, debido a la velocidad de traslación del planeta respecto del Sol.

vl = velocidad lineal que produce la rotación del perihelio.

Los ejes OX y O X´ están alineados en la dirección del movimiento relativo, siendo paralelos en todo instante los ejes Y y Y´ y los ejes Z y Z´.

Sabiendo que:

X = distancia recorrida por el planeta en una revolución (de perihelio a perihelio) en el sistema de referencia S.

X´ = distancia recorrida por el planeta en una revolución en el sistema de referencia S´.

t = tiempo que tarda el planeta en recorrer la distancia X. Tiempo en el sistema de referencia S.

t´ = tiempo que tarda el planeta en recorrer la distancia X´. Tiempo en el sistema de referencia S´.

Las transformaciones de Lorentz son las ecuaciones de Galileo cuando el tiempo es el medido (tiempo transcurrido entre dos acontecimientos más la diferencia de tiempo entre la llegada de la información del segundo acontecimiento y la llegada del primero al sistema de referencia) y el ángulo formado por la dirección de la fuerza aplicada al cuerpo y la dirección de la fuerza que provoca su cambio de dirección es de 90 grados. Siendo la señal de información, la velocidad de la luz en el vacío. Usaremos las transformaciones de Lorentz porque actúan sobre los planetas, además de la fuerza de la gravedad, una fuerza adicional constante perpendicular a la dirección del planeta.

Utilizando las ecuaciones de Lorentz sabemos que:

t´ = bt y x´= bx siendo b = (1-v2/c2)1/2


Son las ecuaciones que nos relacionan los tiempos para una misma distancia y las distancias para un mismo tiempo.

Con lo cual podemos averiguar el incremento de longitud y tiempo que produce la rotación del perihelio en una vuelta completa.

La diferencia de tiempos entre los dos sistemas de referencias es:

∆t = t-t´ = t-bt = t (1-b) y como ∆t´= β∆t entonces ∆t´= t´ (1-β)

Y la diferencia entre sus distancias o longitudes:

∆d = x-+ v0∆t´

Sabiendo que v0t´ = x´ entonces v0∆t´ = ∆x´

Averiguamos la incógnita ∆x´:

Hallamos v0= x´/t´ y sustituyendo x´∆t´/t´= ∆x´ y reemplazando ∆t´ por su valor, obtenemos que ∆x´= x´ (1-β).

Por lo tanto:

∆d = x´ /b-+ x´ (1-b) = x´ /b -b = x´ (1/b -b) = x´ [(1-b2)/b]

Puesto que x´ = bx y la distancia x/radio son 2π radianes, obtenemos:

∆d = xb[(1-b2)/b] = x (1-b2) y por lo tanto ∆α = 2π (1-β2),que es la expresión que nos sale cuando dividimos ambos miembros de la igualdad por el radio.

Como b = (1-V2/C2)1/2 y V = v0+vl obtenemos:

b = (1-(v0+vl) 2/C2)1/2

En un sistema de fuerzas centrales podemos hallar el valor de v0 y el de

V = v0 +vl (al que podemos llamar velocidad final).En este sistema se

cumple:

Fuerza centrífuga = fuerza gravitatoria

mv02/r = GMm/r2, siendo M la masa del Sol y m la masa del Planeta. De donde v02 = GM/r

He partido de dos cuerpos en reposo relativo sometidos a fuerzas gravitatorias (en este caso el Sol y los planetas). Para hallar la velocidad relativa entre los planetas y el Sol:

1º. Los planetas tienen que vencer la fuerza de gravedad del Sol mediante la adquisición de una velocidad igual a la raíz cuadrada de 2GM/r, que es la velocidad de escape.

2º. Posteriormente el planeta obtiene una velocidad perpendicular a la anterior correspondiente a la distancia “r”, es decir, una velocidad igual a la raíz cuadrada de GM/r.

3º. La velocidad relativa es la composición de ambas velocidades. Por lo tanto sería de raíz cuadrada de 3GM/r.

4º. He considerado que el aumento de la fuerza gravitatoria sin que varíe la distancia entre las masas, da el mismo resultado mencionado anteriormente.

La raíz cuadrada de 3GM/r representa la velocidad relativa entre dos masas sometidas a la fuerza de la gravedad cuando hay un incremento de la fuerza gravitatoria sin variar la distancia entre las masas, pero sí hay un desplazamiento del punto de equilibrio entre ambas masas. El aumento de fuerza depende de la masa del cuerpo central que produce el campo gravitatorio y de la distancia entre los cuerpos.

Por lo tanto seguimos con los cálculos hallando la velocidad relativa:

V2 = v02 + 2gr

V2 = GM/r + 2GMr/r2 = GM/r + 2GM/r = 3GM/r

Con lo cual β = (1- 3GM/c2r)1/2 y sustituyendo β en la siguiente expresión:

α = 2π (1- β2 ) = 2 π [ 1-(( 1- 3GM/c2r )1/2)2] = 2 π 3GM/c2r = 6 π GM/c2r



NOTA: Hay un error tipográfico, donde pone "b" tiene que sustituirse por la letra griega "beta"

ENIGMAS MATEMATICOS



Paradoja del Barbero


En un pueblo de España el barbero afeita a todos los hombres menos a los que se afeitan solos y se pregunta: ¿Quién afeita al barbero?

Veamos



No puede afeitarse a sí mismo, porque no afeita a los que se afeitan solos.

Pero si otro lo afeita, ya él no es el único que afeita a todos.

SOLUCIÓN

No existe un barbero perteneciente al pueblo que cumpla las condiciones del problema. Los habitantes que se afeitan del pueblo lo podemos dividir en dos grupos:

a) Los habitantes que afeita el barbero

b) Los habitantes que se afeitan solos

Y como el barbero no pertenece a ninguno de los dos grupos, concluimos que el BARBERO NO ES HABITANTE DEL PUEBLO.

martes, 7 de octubre de 2008

Experimento de los muones


Los muones son unas partículas cuya vida media es de 2,2 millonésimas de segundo. Estas partículas se generan por la interacción de los rayos cósmicos con la atmósfera y viajan a velocidades cercanas a la velocidad de la luz. David Frisch y James Smith realizaron un experimento en el que midieron el número de muones que llegaban a la superficie terrestre. En la cima de la montaña registraron 568 muones por hora y a nivel del mar, según la ley de decaimiento, debería registrarse 27 muones/h; sin embargo detectaron 412 muones/h. Los muones llegaban a la superficie terrestre antes de desintegrarse.

EXPLICACIÓN

Tenemos dos sistemas de referencia:

S: sistema de referencia “Tierra”

S´: sistema de referencia “Rayos Cósmicos”. Los muones tienen una velocidad cercana a la luz respecto de este sistema de referencia.

La velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia es de 0,998c (que es la velocidad que tiene los rayos cósmicos respecto de la tierra) y siendo:

X= distancia entre los dos sistemas de referencia en el instante de emisión de los muones (tiempo transcurrido igual a cero).

X´= distancia entre los dos sistemas de referencia para un determinado tiempo “m” transcurrido desde la emisión de los muones.

t = tiempo que tarda los muones en recorrer la distancia X.

t´= tiempo que tarda los muones en recorrer la distancia X´.





Puesto que la velocidad de la luz que parte de un sistema de referencia y llega al otro sistema de referencia, con velocidad constante respecto del anterior, es constante para los dos sistemas de referencia (es nuestra señal de información) y que los rayos cósmicos sufren una desviación debido a la fuerza gravitatoria que es perpendicular al vector velocidad resultante, entonces podemos utilizar las transformaciones de Lorentz.

De las ecuaciones de Lorentz deducimos que:

X´ = X (1-V2/c2)1/2 y t = t´/ (1-V2/c2)1/2

Que son las ecuaciones que nos relacionan las distancias para un mismo tiempo y los tiempos para una misma distancia.

No es que la vida media de los muones sea mayor en movimiento que en reposo (para un observador terrestre), ni que para los muones el camino a través de la atmósfera se contraiga; sino que la distancia entre los rayos cósmicos y la superficie de la Tierra disminuye debido a que los rayos cósmicos se acercan a la Tierra a una velocidad cercana a la velocidad de la luz en el vacío.Con lo cual no tiene lugar una dilatación del tiempo, sino que la distancia entre los dos sistemas de referencia disminuye y por lo tanto pueden llegar hasta la superficie de la tierra más cantidad de muones (antes de desintegrarse).

martes, 23 de septiembre de 2008

El efecto Shapiro



El efecto Shapiro consiste en un retraso en los tiempos de llegada de los fotones que pasan cerca del Sol. Las sondas planetarias mariner 6 y 7 confirmaron que las ondas emitidas desde California y reflejadas por las sondas hacia la estación emisora, indicaron un retraso de más de 200 microsegundos.



EXPLICACIÓN

La fuerza de la gravedad del Sol produce una disminución de velocidad y una desviación  de las partículas de luz que pasan cerca de él y por lo tanto provoca el retraso en su llegada. La velocidad de la luz en un campo gravitatorio es la composición de dos movimientos, uno rectilíneo uniforme producido por la velocidad de la luz en el vacío y el otro rectilíneo uniformemente acelerado provocado por la fuerza de la gravedad.

VL2 = C2 – Vg2 = C2 – 2gr


VL = (C2 -2gr)1/2 = ( C2 – 2GM/r)1/2




Siendo:
C = velocidad de la luz en el vacío.

VL = velocidad de la luz en el campo gravitatorio.

Vg = velocidad producida por la fuerza de la gravedad.

M = masa que crea el campo de gravedad.

r = distancia entre el centro de gravedad de la masa y la luz.

G = constante de gravitación.

g = GM/r2






Podemos generalizar los resultados para cualquier cuerpo que tenga una velocidad constante:

Vc = (Vv2 – 2GM/r)1/2




Vc = velocidad del cuerpo en el campo gravitatorio.

Vv = velocidad del cuerpo en el vacío.

r = distancia entre el centro de gravedad de la masa y el cuerpo.

lunes, 22 de septiembre de 2008

ENIGMAS MATEMÁTICOS


Problema de los cuatro colores


¿Es suficiente con cuatro colores para colorear todos los mapas posibles sin que ninguna región tenga frontera con otra del mismo color?




METODO DE LAS REGIONES INFINITAS



Partimos de una región cualquiera, que podemos representar mediante una línea cerrada, y la rodeamos haciendo frontera con un número infinito (la cantidad que deseemos) de otras regiones. Con cada región obtenida repetimos el mismo proceso que hemos realizado con la primera región y así indefinidamente con todas las regiones que nos vayan saliendo. De esta forma obtenemos “todos los mapas posibles” puesto que cada región tiene frontera con el número que elijamos de otras regiones.


Para todo mapa elegido se llega a las siguientes conclusiones:


1ª. Toda región rodeada completamente por un número par de otras regiones se dibuja (el conjunto de las regiones) con tres colores.


2ª. Toda región rodeada completamente por un número impar de otras regiones se dibuja (el conjunto de las regiones) con cuatro colores.


3ª. Si una cualquiera de las regiones de un mapa tiene frontera con un número impar de otras regiones, entonces el mapa se colorea con cuatro colores. En caso contrario, es decir, si todas las regiones tienen fronteras con un número par de otras regiones el mapa se colorea con tres colores.


4ª. El número mínimo de colores que se requiere para colorear cualquier mapa de modo que ninguna región tenga frontera con otra del mismo color “depende única y exclusivamente del número de regiones que rodean o tienen fronteras con cada una de las regiones del mapa”.


Conjetura 3n+1


Se escoge un entero positivo cualquiera “n”. Si n es par, se divide por 2. Si n es impar, se multiplica por 3 y se añade 1, es decir, se forma el entero 3n +1. Llamemos a esta operación T(n). Y ahora se vuelve a hacer lo mismo con el resultado que tienes, obteniéndose T (T(n)), que denotaremos T2(n). Se repite esta operación una y otra vez, obteniendo una sucesión de números: n, T(n), T2(n), T3(n)…que llamaremos la trayectoria de n por el algoritmo T. Se observa que siempre, comiences por el número que quieras, llegas, más pronto o más tarde al 1, 4, 2 y ya se repite el ciclo: 1, 4, 2, 1, 4, 2… ¿Cómo se demuestra que sucede lo mismo partiendo de cualquier número?




SOLUCIÓN: MÉTODO DE LOS PERIODOS



PERIODO UNO


Analizaremos si la transformación Tm (n) tiene un punto fijo, es decir, periodo 1 a partir de un número determinado de reiteraciones, partiendo de cualquier número entero positivo. Será así si cumple la siguiente condición: TP+1 (n) = TP (n) = K, siendo K, p y n Є a Z+.

K = valor de la transformación Tm (n) para p y p+1 reiteraciones.

Veamos si la transformación tiene periodo uno:


TP (n) = K y TP+1 (n) = K/2 si K = par


Aplicando la condición:


TP+1 (n) = TP (n) con lo cual K/2 = K de donde K = 0


Si K es impar tenemos que TP (n) = K y TP+1 (n) = 3K+1 y aplicando la condición de periodicidad uno:


TP+1 (n) = TP (n)


3K+1 = K y por lo tanto K = -1/2 que no pertenece a Z+. Con lo cual llegamos a la conclusión que Tm (n) no tiene periodo uno.



PERIODO DOS


La transformación Tm (n) será de periodo 2 si cumple la condición siguiente:


TP+2 (n) = TP (n) = K, siendo K, p y n Є a Z+.


K = valor de la transformación para p y p+2 reiteraciones. Analicemos si la transformación es de periodo 2:

TP (n) = K, TP+1 (n) = K/2 y TP+2 (n) = (3K+2)/2 siendo K = par. Aplicando la condición obtenemos:


TP+2 (n) = TP (n), (3K+2)/2 = K con lo cual K = -2 que no pertenece a los Z+.


Tampoco tendrá solución si hacemos una reiteración en la función par, n/2:


TP (n) = K, TP+1 (n) = K/2 y TP+2 (n) = K/4. Utilizando la condición: TP (n) = TP+2 (n) hallamos que K = K/4 y K = 0


Si K es impar tenemos que TP (n) = K, TP+1 (n) = 3K +1 y TP+2 (n) = (3K+1)/2. Empleando la condición de periodicidad 2:

TP (n) = TP+2 (n)

K = (3K+1)/2 y por ello k = -1. Como consecuencia de lo dicho anteriormente Tm (n) no tiene periodos dos.



PERIODO TRES



La transformación Tm (n) tendrá periodo 3 si cumple la siguiente condición:

TP (n) = TP+3 (n) = K, siendo K, p y n Є a Z+.

K = valor de la transformación para p y p+3 reiteraciones. Comprobemos si tiene periodo tres:

TP (n) = K, TP+1 (n) = K/2, TP+2 (n) = (3K+2)/2, y TP+3 (n) = (3K+2)/4 si K es par. Mediante la condición de periodicidad:

TP (n) = TP+3 (n)

K = (3K+2)4, con lo que K = 2

Entonces TP (n) = 2, TP+1 (n) = 1, TP+2 (n) = 4 y TP+3 (n) = 2


Si hacemos una o dos reiteraciones en la función par n/2:

TP (n) = K, TP+1 (n) = K/2, TP+2 (n) = K/4 y TP+3 (n) = (3K+4)/4 y aplicando la condición de periodicidad 3:

TP (n) = TP+3 (n)

K = (3K+4)/4 con lo cual K = 4 y obtenemos los siguientes resultados:

TP (n) = 4, TP+1 (n) = 2, TP+2 (n) = 1 y TP+3 (n) = 4. Si hacemos dos reiteraciones en la función n/2:

TP (n) = K, TP+1 (n) = K/2, TP+2 (n) = K/4 y TP+3 (n) = K/8 y como TP (n) = TP+3 (n) entonces K = K/8 de donde K = 0


Si K es impar obtenemos:

TP (n) = K, TP+1 (n) = 3K+1, TP+2 (n) = (3K+1)/2 y TP+3 (n) = (9K+5)/2 y utilizando la condición de periodo tres:

TP (n) = TP+3 (n)

K = (9K+5)/2 con lo que K = -5/7

Si reiteramos en la función n/2:

TP (n) = K, TP+1 (n) = 3K+1, TP+2 (n) = (3K+1)/2 y TP+3 (n) = (3K+1)/4 y como:

TP (n) = TP+3 (n)

K = (3K+1)/4 y K = 1, por lo tanto:

TP (n) = 1, TP+1 (n) = 4, TP+2 (n) = 2 y TP+3 (n) = 1


Supongamos que existe un K´ Є a Z+ para algún n con periodo 4 o superior. Sea K´=r+s, siendo r y s números pertenecientes a Z+. Averigüemos si tiene periodo cuatro:

TP (n) = K´= r +s, T P+1 (n) = (r +s)/2, TP+2 (n) = (3r +3s +2)/2, TP+3 (n) = (3r +3s +2)/4 y TP+4 (n) = (9r + 9s + 10)/4 si K´es par. Utilizando la condición de periodo cuatro:

TP (n) = TP+4 (n)

r +s = (9r + 9s + 10)/4 y por lo tanto r = (-5s -10)/5 que no pertenece a Z+. Si reiteramos en la función n/2 obtendremos:

TP (n) = r +s, TP+1 (n) = (r +s)/2, TP+2 (n) = (r +s)/4, TP+3 (n) = (r +s)/8 y

TP+4 (n) = (r +s)/16 y como:

TP (n) = TP+4 (n)

r +s = (r +s)/16, por lo que r = -s. También podemos obtener:

TP (n) = r +s, TP+1 (n) = (r +s)/2, TP+2 (n) = (r +s)/4, TP+3 (n) = (3r + 3s +4)/4 y

TP+4 (n) = (3r + 3s +4)/8 y sabiendo que:

TP (n) = TP+4 (n)

r +s = (3r + 3s +4)/8 de donde r = (-5s +4)/5 que no pertenece a Z+. Hay otras posibles combinaciones pero todas dan como soluciones números enteros negativos.


Si K´es impar tenemos:

TP (n) = r +s, TP+1 (n) = 3r + 3s +1, TP+2 (n) = (3r + 3s + 1)/2, TP+3 (n) = (9r +9s +5)/2 y TP+4 (n) = (9r +9s +5)/4 y como:

TP (n) = TP+4 (n)

r +s = (9r + 9s +5)/4 y por ello r = -s-1. Si reiteramos en la función n/2:

TP(n) = r +s, TP+1 (n) = 3r + 3s +1, TP+2 (n) = (3r +3s +1)/2, TP+3 (n) = (3r + 3s + 1)/4 y TP+4 (n) = (3r +3s +1)/8 y por la condición de periodo cuatro:

TP (n) = TP+4 (n)

r +s = (3r + 3s +1)/8, r = (-5s +1)/5 y si TP+4 (n) = (9r + 9s +7)/4 entonces r = (-5s-7)/5 que tampoco pertenece a Z+. Por lo tanto no es de periodo 4. Si generalizamos los resultados a periodos superiores a cuatro, llegamos a la siguiente conclusión: r siempre va a tener valor negativo, ya que siempre en el miembro de la igualdad donde hay mayor número de r positivas también hay mayor número de s positivas. Con lo cual al despejar r siempre saldrá negativa.


La transformación Tm (n) es divergente si hay en su trayectoria términos más grandes que cualquier número prefijado. Es decir, no existe un número K Є a Z+ que sea común a dos reiteraciones cualesquiera de la transformación. En toda transformación divergente al aplicarle el método de los periodos no hallaremos ninguna solución Є a Z+ en ninguno de los posibles periodos. Como la transformación Tm (n) tiene soluciones enteras positivas para periodo tres, entonces no puede ser divergente. Por lo tanto los resultados obtenidos al aplicar el método de los periodos son independientes del valor de n por el cual comencemos.


SERIE 3N+1




Tm (n) = 3qxn/2r + 3q-1/2r + 3q-2/2r-p(1) + 3q-3/2r-p(2) +……….+3/2r-p +1




Siendo:


p (1) el número de reiteraciones de la función n/2 entre la primera y segunda reiteración de la función 3n +1.


p (2) el número de reiteraciones de la función n/2 entre la primera y tercera reiteración de la función 3n +1.


.

.

.

p el número de reiteraciones de la función n/2 entre la primera y (q-1) reiteraciones de la función 3n +1.


n = cualquier número impar.

q = número de reiteraciones de la función 3n +1.

r = número de reiteraciones de la función n/2.

m = q +r.


Cuando 3q/2r es inferior a 1 y q tiende a infinito, es decir, r es aproximadamente 2q o superior, entonces Tm (n) converge a 4. Esto es así ya que cuando q tiende a infinito cada sumando, excepto el 1, converge a cero y como la última reiteración tiene lugar en la función 3n +1 (puesto que la serie acaba necesariamente en esta función), la serie converge a 4 que es el último resultado posible de la función 3n +1.



¿Cómo se demuestra que todo número impar tiene una trayectoria en la que r es aproximadamente 2q o superior?



EJEMPLOS



T17 (7) = 36x7/211 +35/211 + 34/210 + 33/29 + 32/27 + 3/24 + 1



T20 (9) = 37x9/213 + 36/213 + 35/211 + 34/210 + 33/29 + 32/27 + 3/24 + 1



T15 (11) = 35x11/210 + 34/210 + 33/29 + 32/27 + 3/24 + 1


T10 (13) = 33x13/27 + 32/27 + 3/24 + 1


TEORÍA DE LAS TRANSFORMACIONES





  1. Toda transformación Tm (n) se convierte en una serie en la que el número de reiteraciones es la variable. Un número n tiene período h en la transformación si TP (n) = TP+h (n) = k, siendo p y h números enteros positivos y k pertenece al dominio de la transformación. Es decir, su serie converge a k para el valor n.

  2. La transformación Tm (n) tendrá período h para todo n, si su serie converge a k independientemente del valor de n.


  1. Un número n no tiene período en la transformación Tm (n), si su serie es divergente. La transformación no tiene período para todo n, si su serie es divergente independientemente del valor de n.

  2. Cualquier transformación HX (w), para todo x Є a Z+ y w perteneciente a los números reales, cumple todas las propiedades anteriormente citadas.






viernes, 19 de septiembre de 2008

El tiempo y la Relatividad

EL TIEMPO

El tiempo es un movimiento repetitivo, cíclico, de duración ilimitada (el ciclo pasado, presente y futuro se sucede indefinidamente). Si a cada movimiento cíclico le asociamos un número natural, estaremos creando un sistema de referencia “tiempo” para cualquier acontecimiento. De esta manera el comienzo de todo suceso queda representado por un número y su final por otro número posterior. El tiempo medido, entre dos acontecimientos en un determinado sistema de referencia, es igual al tiempo transcurrido más la diferencia entre los tiempos de llegada de la información (del segundo y del primer acontecimiento) al sistema de referencia. Solamente medimos el tiempo transcurrido entre dos acontecimientos cuando el tiempo de llegada de la información del primer acontecimiento es el mismo que el tiempo de llegada del segundo acontecimiento. El tiempo transcurrido entre dos sucesos es el mismo para todos los sistemas de referencia, lo que es diferente es el tiempo que tarda en llegar la información a cada sistema de referencia. Si sincronizamos dos relojes y situamos cada uno en un sistema de referencia los relojes medirán tiempos diferentes, para un determinado fenómeno, por dos motivos:

1º. La señal de información tarda más tiempo en llegar a un sistema de referencia que al otro.

2º. Hay fuerzas externas que influyen en el funcionamiento de los relojes y son distintas para cada sistema de referencia.

Si las fuerzas externas son iguales para los dos sistemas de referencia (o no existen) y reunimos los dos relojes en un mismo sistema de referencia, los dos marcarán el mismo tiempo.


EL TIEMPO Y LA RELATIVIDAD


Sincronizamos dos relojes cuyo funcionamiento están basados principalmente en la cantidad de veces que la luz emitida recorre una determinada distancia y que un contador registra marcando un tiempo “t”. Uno de estos relojes lo dejamos en reposo en la superficie de la Tierra y otro lo situamos en un satélite que gira alrededor de la Tierra. Se ha comprobado que el reloj del satélite es más rápido que el otro situado en la superficie terrestre. El adelanto del reloj del satélite es de 38.000 nanosegundos por día.



EXPLICACIÓN


La fuerza de la gravedad y la fuerza centrífuga son perpendiculares a la tangente de la trayectoria del satélite y a la de la luz del reloj atómico situado en éste. La velocidad relativa V entre los sistemas de referencia satélite y Tierra es el resultado de la composición  de dos movimientos perpendiculares, uno rectilíneo uniforme producido por la velocidad tangencial del satélite (v) y el otro rectilíneo uniformemente acelerado provocado por la fuerza gravitatoria. La velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia es la resultante entre la velocidad tangencial del satélite  y la velocidad que produce la gravedad. 
V2 =v2 +vg2 = v2+2gr = v2+2GM/r siendo vg2 = 2gr, partiendo del reposo.
La luz del reloj atómico situado en el satélite y la del reloj situado en la superficie de la Tierra se desvían debido a dos fuerzas perpendiculares, la fuerza de la gravedad y la fuerza centrífuga. Por lo tanto podemos utilizar las transformaciones de Lorentz para relacionar los tiempos. Utilizando las ecuaciones de Lorentz que nos relacionan los tiempos para una misma distancia recorrida obtenemos:
t= t´ (1-V2/c2)1/2 = t´ (1-(v2+2GM/r)/c2)1/2 = t´ (1-v2/c2-2GM/rc2)1/2


Que es la relación entre los tiempos propios, cuando uno de los sistemas de referencia está situado en un campo gravitatorio y el otro en un punto donde no actúen fuerzas externas, para una misma distancia recorrida. Siendo “t” el tiempo propio en cualquier punto del campo gravitatorio y “t´” el tiempo propio en un reloj no sometido a fuerzas externas. Siendo “t” inferior a “t´” debido a la disminución de la velocidad de la luz, utilizada para la medición del tiempo, en el reloj donde actúa la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga respecto del reloj situado en el lugar donde estas fuerzas están ausentes.
Por lo tanto la luz del reloj situado en la superficie terrestre tarda más tiempo en recorrer una misma distancia y su contador marca menos tiempo que el situado en el satélite.




Sabiendo que t= t´ (1-v2/c2-2GM/rc2)1/2 y que

t = tiempo propio en cualquier punto del campo gravitatorio
t´= tiempo propio en un reloj no sometido a fuerzas externas
G = constante de gravitación universal
M = masa de la Tierra
r = distancia desde el punto a considerar hasta el centro de gravedad de la Tierra
c = velocidad de la luz en el vacío
v = velocidad tangencial del punto a analizar

Vamos a comparar los relojes con un reloj situado en un punto sin gravedad, el reloj está lo suficientemente alejado del campo gravitatorio como para que no se vea afectado por éste (el reloj no está sometido a fuerzas externas).

Si comparamos el reloj del satélite con el reloj no sometido a fuerzas externas para un tiempo, referente a este último reloj, de un día (86400 s) obtenemos:

ts = 86400 (1-vs2/c2-2GM/rsc2)1/2 = 86400 (1-38702/8,98752x1016-

7,97209x1014/2,37049x1024)1/2 = 86400 (1-1,66641x10-10-3,36306x10-10)1/2 =

= 86400 (1-5,02947x10-10)1/2 = 86399, 99998

La diferencia entre el tiempo del reloj del satélite y el reloj no sometido a fuerzas externas es:


Ds = 86400-86399,99998 = 2,1730x10-5 s que es la desincronización (en forma de retraso) que tiene el reloj del satélite respecto al reloj de referencia.

Ahora hallaremos el tiempo del reloj situado en la superficie de la Tierra en el paralelo 40º:

tt = 86400 (1-vt2/c2-2GM/rtc2)1/2 = 86400 (1- 4,41474x10-10)1/2 = 86399,99994

La diferencia entre el reloj de la superficie terrestre a 40º de latitud y el reloj de referencia es:

Dt = 86400-86399,99994 = 6,0249x10-5 s que es el retraso que tiene el reloj de la superficie terrestre respecto del reloj no sometido a fuerzas externas.

La resta entre los valores de Dt y Ds nos da el tiempo de retraso del reloj de la superficie terrestre respecto del reloj del satélite o el adelanto de este último respecto del primero. De esta manera obtenemos:

Dt – Ds = 6,0249x10-5- 2,1730x10-5 = 3,8520x10-5 segundos por día, o lo que es lo mismo unos 38500 nanosegundos diarios.

La relación entre los tiempos propios de dos relojes situados a la distancia rs y rt del centro de gravedad de un campo gravitatorio es la siguiente:

tt = ts (1-2GM/rtc2-vt2/c2)1/2/ (1-2GM/rsc2-vs2/c2)1/2

Siendo vs y vt las velocidades tangenciales de los relojes situados a las distancias rs y rt respectivamente del centro de gravedad del campo gravitatorio y rs superior a rt.


En conclusión la gravedad,la fuerza centrífuga y la velocidad tangencial no influyen en el tiempo, sino en el funcionamiento de los relojes. Actúan fuerzas externas diferentes para cada reloj que provocan su desincronización.


TABLA DE DATOS


c = 2,99792 x 108 m/s

G = 6,67266 x 10-11

Masa de la Tierra = 5,97370 x 1024 Kg

Radio de la Tierra = 6371000 m

Altitud del satélite = 20000000 m

Distancia del satélite al centro de la Tierra (rs) = 2,63753 x 107 m

Velocidad tangencial del satélite (vs) = 3870 m/s

Radio de la Tierra en la latitud 40º (rt) = 2,02014 x 107 m

Velocidad tangencial de la superficie terrestre en la latitud 40º (vt) = 4,63312 x 102 m/s

jueves, 18 de septiembre de 2008

Relación entre los sistemas de referencia inerciales y no inerciales


INTRODUCCION



En el experimento de Michelson-Morley la distancia recorrida por la luz en la dirección del movimiento y la distancia recorrida por ésta en la dirección transversal al movimiento son iguales para el sistema de referencia “Tierra”, de ahí que tarde el mismo tiempo en recorrerla. El lugar donde se encuentra la fuente que produce la luz se puede considerar el origen del sistema de referencia “Tierra”. La distancia entre el origen y un punto cualquiera “A” de este sistema de referencia es la misma estando el sistema de referencia en reposo o si éste tiene movimiento rectilíneo uniforme (respecto de otro sistema de referencia). Si el origen del sistema de referencia se desplaza una distancia “d” en una determinada dirección y sentido, el punto “A” también recorre esa distancia en la misma dirección y sentido. Por lo tanto la distancia recorrida por la luz en el movimiento de ida es la misma que la recorrida en su movimiento de vuelta. El experimento de Michelson-Morley nos demuestra que la velocidad de la luz, para el sistema de referencia donde la fuente que la produce está en reposo, es la misma en todas direcciones. Para este sistema de referencia la velocidad de la luz es constante tanto si el sistema de referencia está en reposo como si éste tiene movimiento rectilíneo uniforme, respeto de otro sistema de referencia. Podemos decir que la velocidad de la luz es constante respecto al sistema de referencia donde se encuentra, en reposo, la fuente que la produce y en todos aquellos sistemas de referencia, con velocidades constantes lo unos respecto a los otros, donde llega la luz procedente de una fuente cualquiera. El experimento de Alvager que describo a continuación nos demuestra esta última afirmación.” Se aceleraron mesones pi (partículas nucleares que se desintegran en dos rayos gamma) hasta una velocidad muy cercana a la velocidad de la luz. Las mediciones del tiempo de vuelo entre dos detectores dieron una velocidad de “c” para los fotones emitidos por los mesones pi”. La velocidad de la luz es relativa si parte del origen común de los dos sistemas de referencia. Por consiguiente solamente podemos modificar las ecuaciones de Galileo de dos formas:


1ª. Incorporando la constancia de la velocidad de la luz, cuando parte de un punto “P” y llega al origen de los dos sistemas de referencia, que es la señal de información. Con lo cual la señal no llega instantáneamente, sino que tiene la velocidad de la luz en el vacío.


2ª. Modificando la dirección de la velocidad del sistema de referencia o la dirección de la velocidad del cuerpo. Si la fuerza que provoca el cambio de dirección forma un ángulo recto con las direcciones anteriormente citadas, obtenemos las transformaciones de Lorentz, pero siendo la velocidad de la luz nuestra señal de información.




RELACIÓN ENTRE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ Y LAS ECUACIONES DE GALILEO



Si profundizamos en las transformaciones de Lorentz llegamos a las siguientes conclusiones:


1ª. Las ecuaciones de Galileo: x´= x-vt, y=y´ y z=z´ solamente son válidas cuando los sistemas de referencias son inerciales y la velocidad de la señal de información se considere instantánea.


2ª. Las anteriores ecuaciones de Galileo hay que modificarlas, ya que la señal de información es la velocidad de la luz en el vacío. Puesto que “x” es invariable y la velocidad relativa también, entonces es el tiempo el único factor que varía. Por consiguiente la nueva ecuación es x´= x-αvt y como sabemos que x =ct, x´= ct´ y t´= αt deducimos lo siguiente:


x´= x-αvt

ct´= ct-αvt

cαt = t(c-αv)

cα = c-αv

α (c+v) = c


α= c/(c+v)



Por lo tanto las ecuaciones son las siguientes:


x´= x-cvt/(c+v) , x = x´+ vt´


y´ = y, y = y´

z´= z, z = z´


t´= ct/(c+v) si ∆x =0, t = (c+v)t´/c



3ª. ¿Qué ocurre si aplicamos una fuerza constante perpendicular a la dirección de la velocidad del sistema de referencia (y a la dirección de la velocidad del cuerpo) que produce en el sistema de referencia un cambio de dirección y de velocidad constante (es decir, el sistema de referencia pasa de una velocidad constante a otra velocidad constante?

Lo que ocurre es que el cuerpo recorre una distancia mayor a la misma velocidad, lo que equivale a una disminución de la velocidad del cuerpo para una misma distancia recorrida.


¿Qué relación hay entre la distancia recorrida por el cuerpo cuando su dirección es perpendicular a la dirección de la velocidad del sistema de referencia, que está cambiando de velocidad constante, respecto de la distancia recorrida por el cuerpo a velocidad constante cuando el sistema de referencia tiene movimiento rectilíneo uniforme? Es decir, qué relación existe con las distancias, velocidades y tiempo entre las transformaciones de Lorentz y las ecuaciones de Galileo. Del siguiente triángulo rectángulo :






L = v1t , es la hipotenusa

G , cateto mayor

V.t, cateto menor















Podemos deducir que xG´= t (v12-V2)1/2 y x´L= v1t siendo “V” la velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia y v1 la velocidad del cuerpo. Y relacionándolas nos queda x´L/x´G = v1t/t (v12-V2)1/2 de donde:


L= v1G/ (v12-V2)1/2 = x´G/ (1-V2/v12)1/2 y como la señal de información es la luz, que tiene la misma velocidad en el vacío para todos los sistemas de referencia con movimientos rectilíneos uniformes, entonces podemos sustituir la velocidad del cuerpo por la velocidad de la luz; puesto que nos informa de la posición del cuerpo, la distancia recorrida y el tiempo que tarda en recorrerla. De esta forma obtenemos:










L = x´G/ (1-V2/c2)1/2











Siendo:

L = distancia recorrida por un cuerpo (incluido la luz) en el sistema de referencia S´ en las transformaciones de Lorentz.


c = velocidad de la luz en el vacío.


G = distancia recorrida por cualquier cuerpo en el sistema de referencia S´ en las ecuaciones de Galileo.


V = velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia con movimientos rectilíneos uniformes.



En definitiva, podemos decir que las transformaciones de Lorentz son las ecuaciones de Galileo cuando el ángulo formado por la dirección de la velocidad del sistema de referencia (o la dirección de la velocidad del cuerpo) y la dirección de la fuerza que provoca su cambio de dirección es de 90 grados.


Podemos generalizar los resultados para cualquier ángulo α. Para ello partiremos de la suma de dos vectores:


(ct1)2 = x´G2 + (Vt1)2+2x´GVt1cosα

Siendo uno de los vectores x´G, el otro Vt1, el vector resultante x´α = ct1 y α el ángulo entre los dos vectores.


Y despejando x´G obtenemos:


G = (-Vcosα + (V2 (cos2α-1) +c2)1/2)t1


Y ahora relacionamos x´G con x´α


α/x´G = ct1/ (-Vcosα+ (V2(cos2α-1)+c2)1/2)t1 de donde


α =cx´G/ (-Vcosα+ (V2(cos2α-1)+c2)1/2)= x´G/ (-Vcosα/c+ (V2(cos2α-1)/c2 +1)1/2)



α = distancia recorrida por el cuerpo y por la luz en el sistema de referencia S´ para las transformaciones α. Siendo α el ángulo formado por la dirección del sistema de referencia con movimiento rectilíneo uniforme (o la dirección de la velocidad del cuerpo) y la dirección de la fuerza que provoca su cambio de dirección. O lo que es lo mismo: ángulo formado por la dirección de la fuerza aplicada al cuerpo y la dirección de la fuerza que provoca su cambio de dirección.



Por lo tanto las nuevas transformaciones o ecuaciones α de Galileo son las siguientes:


α = (x-Vt)/ (-Vcosα/c + (V2(cos2α-1)/c2 +1)1/2)


α = y


α = z


α = t (-Vcosα/c + (V2(cos2α-1)/c2 +1)1/2) cuando ∆x=0











Si “c” se considera infinita o instantánea, obtenemos las ecuaciones de Galileo.

Si V=0 se obtiene las ecuaciones de Galileo en el sistema de referencia S´, sistema de referencia propio, que coincide con el sistema de referencia S.

Cuando α=0, x´0 =(x-Vt)/ (1-V/c) con lo cual el cambio de velocidad del sistema de referencia y la velocidad del cuerpo tienen la misma dirección y sentido. La distancia recorrida por el cuerpo aumenta respecto a la distancia recorrida en las ecuaciones de Galileo (x´0 es mayor que x´G). Como ejemplo tenemos al tren con movimiento rectilíneo uniforme que aumenta de velocidad en la misma dirección, pasa de una velocidad inicial a otra final, con un hombre caminando dentro del tren a una velocidad constante en la misma dirección y sentido que el tren.

Cuando α= 90, x´90 = (x-Vt)/ (1-V2/c2)1/2 con lo que se obtiene las transformaciones de Lorentz.


Si α = 180 entonces x´180 = (x-Vt)/ (1+V/c) y por lo tanto en este caso el cambio de velocidad del sistema de referencia y la velocidad del cuerpo tienen la misma dirección y sentido contrario. La distancia recorrida por el cuerpo disminuye respecto a la distancia recorrida en las ecuaciones de Galileo (x´180 es menor que x´G). Podemos poner el ejemplo del tren con movimiento rectilíneo uniforme que disminuye de velocidad en la misma dirección, con un hombre corriendo en su interior a una velocidad constante en la misma dirección y sentido que el tren.