jueves, 9 de octubre de 2008

Precesión del perihelio de los Planetas



El avance del perihelio es la rotación lenta del eje mayor de la órbita del Planeta en el mismo sentido que su revolución alrededor del Sol.
La desviación del eje de giro del Sol es lo que produce la rotación lenta, con velocidad angular constante (velocidad lineal media constante), del perihelio de los planetas en el mismo sentido que su revolución alrededor del Sol.Por supuesto es una hipótesis, hasta que no sea rechazada o confirmada por los experimentos.
Tenemos dos sistemas de referencias:
S: sistema de referencia del Sol
S´ : sistema de referencia del planeta
Los dos sistemas de referencias tienen un movimiento relativo de traslación uniforme de velocidad constante V = v0 + vl
v0 = velocidad inicial que tiene el sistema de referencia S´ con respecto de S, debido a la velocidad de traslación del planeta respecto del Sol.
vl = velocidad lineal que produce la rotación del perihelio.
Los ejes OX y O X´ están alineados en la dirección del movimiento relativo, siendo paralelos en todo instante los ejes Y y Y´ y los ejes Z y Z´.
Sabiendo que:
X = distancia recorrida por el planeta en una revolución (de perihelio a perihelio) en el sistema de referencia S.
X´ = distancia recorrida por el planeta en una revolución en el sistema de referencia S´.
t = tiempo que tarda el planeta en recorrer la distancia X. Tiempo en el sistema de referencia S.
t´ = tiempo que tarda el planeta en recorrer la distancia X´. Tiempo en el sistema de referencia S´.
 Usaremos las transformaciones de Lorentz porque actúan sobre los planetas, además de la fuerza de la gravedad y la fuerza centrífuga, una fuerza adicional constante perpendicular a la dirección del planeta. Siendo la señal de información, la velocidad de la luz en el vacío.
Utilizando las ecuaciones de Lorentz sabemos que:
t´ = bt (es la relación entre los tiempos propios) y x´= bx siendo b = (1-v2/c2)1/2
que es la relación entre las distancias para un mismo tiempo transcurrido.
Son las ecuaciones que nos relacionan los tiempos para una misma distancia y las distancias para un mismo tiempo.
Con lo cual podemos averiguar el incremento de longitud y tiempo que produce la rotación del perihelio en una vuelta completa.
La diferencia de tiempos entre los dos sistemas de referencias es:
∆t = t-t´ = t-bt = t (1-b) y como ∆t´= β∆t entonces ∆t´= t´ (1-β)
Y la diferencia entre sus distancias o longitudes:
∆d = x-+ v0∆t´
Sabiendo que v0t´ = x´ entonces v0∆t´ = ∆x´
Averiguamos la incógnita ∆x´:
Hallamos v0= x´/t´ y sustituyendo x´∆t´/t´= ∆x´ y reemplazando ∆t´ por su valor, obtenemos que ∆x´= x´ (1-β).
Por lo tanto:
∆d = x´ /b-+ x´ (1-b) = x´ /b -b = x´ (1/b -b) = x´ [(1-b2)/b]
Puesto que x´ = bx y la distancia x/radio son 2π radianes, obtenemos:
∆d = xb[(1-b2)/b] = x (1-b2) y por lo tanto ∆α = 2π (1-β2), que es la expresión que nos sale cuando dividimos ambos miembros de la igualdad por el radio.

En un sistema de fuerzas centrales podemos hallar el valor de v0 y el de V = v0 + vl, que sería la nueva velocidad relativa. En este sistema se cumple:

Fuerza centrífuga = fuerza  gravitatoria

m v02/r  = GMm/r2, siendo M la masa del Sol y m la masa del Planeta.                           

De donde v02= GM/r    

Por lo tanto seguimos con los cálculos hallando la velocidad relativa:

La velocidad relativa V es el resultado de la composición  de dos movimientos perpendiculares, uno rectilíneo uniforme producido por la velocidad inicial del Planeta y el otro rectilíneo uniformemente acelerado provocado por la fuerza gravitatoria. La velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia es la resultante entre la velocidad lineal del planeta  y la velocidad que produce la gravedad.

V2 = v02 + 2gr
V2 = GM/r + 2GMr/r2 = GM/r + 2GM/r = 3GM/r
Con lo cual β = (1- 3GM/c2r)1/2 y sustituyendo β en la siguiente expresión:
α = 2π (1- β2 ) = 2 π [ 1-(( 1- 3GM/c2r )1/2)2] = 2 π 3GM/c2r = 6 π GM/c2r


NOTA: Hay un error tipográfico, donde pone "b" tiene que sustituirse por la letra griega "beta"

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