El efecto Shapiro

El efecto Shapiro consiste en un retraso en los tiempos de llegada de los fotones que pasan cerca del Sol. Las sondas planetarias mariner 6 y 7 confirmaron que las ondas emitidas desde California y reflejadas por las sondas hacia la estación emisora, indicaron un retraso de más de 200 microsegundos.

EXPLICACIÓN

La fuerza de la gravedad del Sol produce una disminución de velocidad y una desviación  de las partículas de luz que pasan cerca de él y por lo tanto provoca el retraso en su llegada. La velocidad de la luz en un campo gravitatorio es la composición de dos movimientos, uno rectilíneo uniforme producido por la velocidad de la luz en el vacío y el otro rectilíneo uniformemente acelerado provocado por la fuerza de la gravedad. Si la luz se emite desde un punto A y tiene que llegar a un punto B, debemos lanzar el rayo con un cierto ángulo respecto a la recta que une A y B para compensar la fuerza de la gravedad. Por lo tanto debemos resolver el trángulo rectángulo formado por la velocidad de la luz como hipotenusa, siendo la velocidad de la gravedad el lado menor y la velocidad de la luz en el campo gravitatorio el lado mayor.

V_L² = C² – V_g² = C² – 2gr

V_L = (C² -2gr)^1/2 = ( C² – 2GM/r)^1/2

Siendo:

C = velocidad de la luz en el vacío.

V_L = velocidad de la luz en el campo gravitatorio.

V_g = velocidad producida por la fuerza de la gravedad.

M = masa que crea el campo de gravedad.

r = distancia entre el centro de gravedad de la masa y la luz.

G = constante de gravitación.

g = GM/r²

Podemos generalizar los resultados para cualquier cuerpo que tenga una velocidad constante:

V_c = (V_v² – 2GM/r)^1/2

V_c = velocidad del cuerpo en el campo gravitatorio.

V_v = velocidad del cuerpo en el vacío.

r = distancia entre el centro de gravedad de la masa y el cuerpo.

ENIGMAS MATEMÁTICOS

Problema de los cuatro colores

¿Es suficiente con cuatro colores para colorear todos los mapas posibles sin que ninguna región tenga frontera con otra del mismo color?

METODO DE LAS REGIONES INFINITAS

Partimos de una región cualquiera, que podemos representar mediante una línea cerrada, y la rodeamos haciendo frontera con un número infinito (la cantidad que deseemos) de otras regiones. Con cada región obtenida repetimos el mismo proceso que hemos realizado con la primera región y así indefinidamente con todas las regiones que nos vayan saliendo. De esta forma obtenemos “todos los mapas posibles” puesto que cada región tiene frontera con el número que elijamos de otras regiones.

Para todo mapa elegido se llega a las siguientes conclusiones:

1ª. Toda región rodeada completamente por un número par de otras regiones se dibuja (el conjunto de las regiones) con tres colores.

2ª. Toda región rodeada completamente por un número impar de otras regiones se dibuja (el conjunto de las regiones) con cuatro colores.

3ª. Si una cualquiera de las regiones de un mapa tiene frontera con un número impar de otras regiones, entonces el mapa se colorea con cuatro colores. En caso contrario, es decir, si todas las regiones tienen fronteras con un número par de otras regiones el mapa se colorea con tres colores.

4ª. El número mínimo de colores que se requiere para colorear cualquier mapa de modo que ninguna región tenga frontera con otra del mismo color “depende única y exclusivamente del número de regiones que rodean o tienen fronteras con cada una de las regiones del mapa”.

Conjetura 3n+1

Se escoge un entero positivo cualquiera “n”. Si n es par, se divide por 2. Si n es impar, se multiplica por 3 y se añade 1, es decir, se forma el entero 3n +1. Llamemos a esta operación T(n). Y ahora se vuelve a hacer lo mismo con el resultado que tienes, obteniéndose T (T(n)), que denotaremos T²(n). Se repite esta operación una y otra vez, obteniendo una sucesión de números: n, T(n), T²(n), T³(n)…que llamaremos la trayectoria de n por el algoritmo T. Se observa que siempre, comiences por el número que quieras, llegas, más pronto o más tarde al 1, 4, 2 y ya se repite el ciclo: 1, 4, 2, 1, 4, 2… ¿Cómo se demuestra que sucede lo mismo partiendo de cualquier número?

SOLUCIÓN: MÉTODO DE LOS PERIODOS

PERIODO UNO

Analizaremos si la transformación T^m (n) tiene un punto fijo, es decir, periodo 1 a partir de un número determinado de reiteraciones, partiendo de cualquier número entero positivo. Será así si cumple la siguiente condición: T^P+1 (n) = T^P (n) = K, siendo K, p y n Є a Z⁺.

K = valor de la transformación T^m (n) para p y p+1 reiteraciones.

Veamos si la transformación tiene periodo uno:

T^P (n) = K y T^P+1 (n) = K/2 si K = par

Aplicando la condición:

T^P+1 (n) = T^P (n) con lo cual K/2 = K de donde K = 0

Si K es impar tenemos que T^P (n) = K y T^P+1 (n) = 3K+1 y aplicando la condición de periodicidad uno:

T^P+1 (n) = T^P (n)

3K+1 = K y por lo tanto K = -1/2 que no pertenece a Z⁺. Con lo cual llegamos a la conclusión que T^m (n) no tiene periodo uno.

PERIODO DOS

La transformación T^m (n) será de periodo 2 si cumple la condición siguiente:

T^P+2 (n) = T^P (n) = K, siendo K, p y n Є a Z⁺.

K = valor de la transformación para p y p+2 reiteraciones. Analicemos si la transformación es de periodo 2:

T^P (n) = K, T^P+1 (n) = K/2 y T^P+2 (n) = (3K+2)/2 siendo K = par. Aplicando la condición obtenemos:

T^P+2 (n) = T^P (n), (3K+2)/2 = K con lo cual K = -2 que no pertenece a los Z⁺.

Tampoco tendrá solución si hacemos una reiteración en la función par, n/2:

T^P (n) = K, T^P+1 (n) = K/2 y T^P+2 (n) = K/4. Utilizando la condición: T^P (n) = T^P+2 (n) hallamos que K = K/4 y K = 0

Si K es impar tenemos que T^P (n) = K, T^P+1 (n) = 3K +1 y T^P+2 (n) = (3K+1)/2. Empleando la condición de periodicidad 2:

T^P (n) = T^P+2 (n)

K = (3K+1)/2 y por ello k = -1. Como consecuencia de lo dicho anteriormente T^m (n) no tiene periodos dos.

PERIODO TRES

La transformación T^m (n) tendrá periodo 3 si cumple la siguiente condición:

T^P (n) = T^P+3 (n) = K, siendo K, p y n Є a Z⁺.

K = valor de la transformación para p y p+3 reiteraciones. Comprobemos si tiene periodo tres:

T^P (n) = K, T^P+1 (n) = K/2, T^P+2 (n) = (3K+2)/2, y T^P+3 (n) = (3K+2)/4 si K es par. Mediante la condición de periodicidad:

T^P (n) = T^P+3 (n)

K = (3K+2)4, con lo que K = 2

Entonces T^P (n) = 2, T^P+1 (n) = 1, T^P+2 (n) = 4 y T^P+3 (n) = 2

Si hacemos una o dos reiteraciones en la función par n/2:

T^P (n) = K, T^P+1 (n) = K/2, T^P+2 (n) = K/4 y T^P+3 (n) = (3K+4)/4 y aplicando la condición de periodicidad 3:

T^P (n) = T^P+3 (n)

K = (3K+4)/4 con lo cual K = 4 y obtenemos los siguientes resultados:

T^P (n) = 4, T^P+1 (n) = 2, T^P+2 (n) = 1 y T^P+3 (n) = 4. Si hacemos dos reiteraciones en la función n/2:

T^P (n) = K, T^P+1 (n) = K/2, T^P+2 (n) = K/4 y T^P+3 (n) = K/8 y como T^P (n) = T^P+3 (n) entonces K = K/8 de donde K = 0

Si K es impar obtenemos:

T^P (n) = K, T^P+1 (n) = 3K+1, T^P+2 (n) = (3K+1)/2 y T^P+3 (n) = (9K+5)/2 y utilizando la condición de periodo tres:

T^P (n) = T^P+3 (n)

K = (9K+5)/2 con lo que K = -5/7

Si reiteramos en la función n/2:

T^P (n) = K, T^P+1 (n) = 3K+1, T^P+2 (n) = (3K+1)/2 y T^P+3 (n) = (3K+1)/4 y como:

T^P (n) = T^P+3 (n)

K = (3K+1)/4 y K = 1, por lo tanto:

T^P (n) = 1, T^P+1 (n) = 4, T^P+2 (n) = 2 y T^P+3 (n) = 1

Supongamos que existe un K^´ Є a Z⁺ para algún n con periodo 4 o superior. Sea K´=r+s, siendo r y s números pertenecientes a Z⁺. Averigüemos si tiene periodo cuatro:

T^P (n) = K´= r +s, T ^P+1 (n) = (r +s)/2, T^P+2 (n) = (3r +3s +2)/2, T^P+3 (n) = (3r +3s +2)/4 y T^P+4 (n) = (9r + 9s + 10)/4 si K´es par. Utilizando la condición de periodo cuatro:

T^P (n) = T^P+4 (n)

r +s = (9r + 9s + 10)/4 y por lo tanto r = (-5s -10)/5 que no pertenece a Z⁺. Si reiteramos en la función n/2 obtendremos:

T^P (n) = r +s, T^P+1 (n) = (r +s)/2, T^P+2 (n) = (r +s)/4, T^P+3 (n) = (r +s)/8 y

T^P+4 (n) = (r +s)/16 y como:

T^P (n) = T^P+4 (n)

r +s = (r +s)/16, por lo que r = -s. También podemos obtener:

T^P (n) = r +s, T^P+1 (n) = (r +s)/2, T^P+2 (n) = (r +s)/4, T^P+3 (n) = (3r + 3s +4)/4 y

T^P+4 (n) = (3r + 3s +4)/8 y sabiendo que:

T^P (n) = T^P+4 (n)

r +s = (3r + 3s +4)/8 de donde r = (-5s +4)/5 que no pertenece a Z⁺. Hay otras posibles combinaciones pero todas dan como soluciones números enteros negativos.

Si K´es impar tenemos:

T^P (n) = r +s, T^P+1 (n) = 3r + 3s +1, T^P+2 (n) = (3r + 3s + 1)/2, T^P+3 (n) = (9r +9s +5)/2 y T^P+4 (n) = (9r +9s +5)/4 y como:

T^P (n) = T^P+4 (n)

r +s = (9r + 9s +5)/4 y por ello r = -s-1. Si reiteramos en la función n/2:

T^P(n) = r +s, T^P+1 (n) = 3r + 3s +1, T^P+2 (n) = (3r +3s +1)/2, T^P+3 (n) = (3r + 3s + 1)/4 y T^P+4 (n) = (3r +3s +1)/8 y por la condición de periodo cuatro:

T^P (n) = T^P+4 (n)

r +s = (3r + 3s +1)/8, r = (-5s +1)/5 y si T^P+4 (n) = (9r + 9s +7)/4 entonces r = (-5s-7)/5 que tampoco pertenece a Z⁺. Por lo tanto no es de periodo 4. Si generalizamos los resultados a periodos superiores a cuatro, llegamos a la siguiente conclusión: r siempre va a tener valor negativo, ya que siempre en el miembro de la igualdad donde hay mayor número de r positivas también hay mayor número de s positivas. Con lo cual al despejar r siempre saldrá negativa.

La transformación T^m (n) es divergente si hay en su trayectoria términos más grandes que cualquier número prefijado. Es decir, no existe un número K Є a Z⁺ que sea común a dos reiteraciones cualesquiera de la transformación. En toda transformación divergente al aplicarle el método de los periodos no hallaremos ninguna solución Є a Z⁺ en ninguno de los posibles periodos. Como la transformación T^m (n) tiene soluciones enteras positivas para periodo tres, entonces no puede ser divergente. Por lo tanto los resultados obtenidos al aplicar el método de los periodos son independientes del valor de n por el cual comencemos.

SERIE 3N+1

T^m (n) = 3^qxn/2^r + 3^q-1/2^r + 3^q-2/2^r-p(1) + 3^q-3/2^r-p(2) +……….+3/2^r-p +1

Siendo:

p (1) el número de reiteraciones de la función n/2 entre la primera y segunda reiteración de la función 3n +1.

p (2) el número de reiteraciones de la función n/2 entre la primera y tercera reiteración de la función 3n +1.

.

.

.

p el número de reiteraciones de la función n/2 entre la primera y (q-1) reiteraciones de la función 3n +1.

n = cualquier número impar.

q = número de reiteraciones de la función 3n +1.

r = número de reiteraciones de la función n/2.

m = q +r.

Cuando 3^q/2^r es inferior a 1 y r tiende a infinito,  T^m (n) converge a 4. Esto es así ya que cuando r tiende a infinito cada sumando, excepto el 1, converge a cero y como la última reiteración tiene lugar en la función 3n +1 (puesto que la serie acaba necesariamente en esta función), la serie converge a 4 que es el último resultado posible de la función 3n +1.

EJEMPLOS

T¹⁷ (7) = 3⁶x7/2¹¹ +3⁵/2¹¹ + 3⁴/2¹⁰ + 3³/2⁹ + 3²/2⁷ + 3/2⁴ + 1=4

T²⁰ (9) = 3⁷x9/2¹³ + 3⁶/2¹³ + 3⁵/2¹¹ + 3⁴/2¹⁰ + 3³/2⁹ + 3²/2⁷ + 3/2⁴ + 1=4

T¹⁵ (11) = 3⁵x11/2¹⁰ + 3⁴/2¹⁰ + 3³/2⁹ + 3²/2⁷ + 3/2⁴ + 1=4

T¹⁰ (13) = 3³x13/2⁷ + 3²/2⁷ + 3/2⁴ + 1=4

TEORÍA DE LAS TRANSFORMACIONES

1. Toda transformación T^m (n) se convierte en una serie en la que el número de reiteraciones es la variable. Un número n tiene período h en la transformación si T^P (n) = T^P+h (n) = k, siendo p y h números enteros positivos y k pertenece al dominio de la transformación. Es decir, su serie converge a k para el valor n.
2. La transformación T^m (n) tendrá período h para todo n, si su serie converge a k independientemente del valor de n.

3. Un número n no tiene período en la transformación T^m (n), si su serie es divergente. La transformación no tiene período para todo n, si su serie es divergente independientemente del valor de n.
4. Cualquier transformación H^X (w), para todo x Є a Z⁺ y w perteneciente a los números reales, cumple todas las propiedades anteriormente citadas.
5. Las ecuaciones del método de los períodos en las transformaciones son independientes del número por el cual comencemos. Si la transformación tiene período h, todos sus miembros n tienen ese período. Si un miembro de la transformación tiene período h, todos sus miembros n tienen ese período. Si un solo miembro es divergente, todos sus miembros n son divergentes.

 Todo número impar converge a 4,2,1

De la ecuación general del árbol de reiteraciones 4,2,1 (página 32) se obtiene:

x3^q= 2²ⁿ-y₁ e  y3^q=2^2n-1-y₂ , siendo x los impares que cumplen la primera ecuación e

y los impares que cumplen la segunda ecuación. Todos los impares que cumplan las ecuaciones son miembros del árbol de reiteraciones y por lo tanto convergen a 4,2,1.

y₁= 2^{m1+m2+...+m(q-1)}+3^q-1+3^q-22^m1+3^q-32^m1+m2+….+2^{m1+m2+...+m(q-2)}3 que depende de las reiteraciones del impar x

y₂₌ 2^{m1+m2+...+m(q-1)}+3^q-1+3^q-22^m1+3^q-32^m1+m2+….+2^{m1+m2+...+m(q-2)}3 que depende de las reiteraciones del impar y

Sabiendo que en la sucesión a_n1= 2²ⁿ-1 todos sus términos son impares múltiplos de 3 , ya que 2²ⁿ-1= 3(2^2n-2+2^2n-4+…..+2²+1), podemos hallar un conjunto de sucesiones en las que todos sus términos positivos sean múltiplos de 3. Si a la sucesión anterior le restamos 6 obtenemos otra sucesión cuyos términos positivos son todos múltiplos de 3 (a_n2= 2²ⁿ-7). Si a esta última sucesión le volvemos a restar 6 obtenemos la tercera sucesión, a_n3= 2²ⁿ-13 y así sucesivamente. Observamos que estas sucesiones coinciden con el segundo miembro de la primera ecuación. Las sucesiones son las siguientes:

a_n1= 2²ⁿ-1 para todo n

a_n2= 2²ⁿ-7 para todo n≥2

a_n3= 2²ⁿ-13 para todo n≥2

a_n4= 2²ⁿ-19 para todo n≥3

………….

………….

………….

a_nm= 2²ⁿ-(6m-5)

Sabiendo que en la sucesión a_r= 2^2n-1+1 todos sus términos son impares múltiplos de 3, puesto que 2^2n-1+1= 3(2^2n-3+2^2n-5+….+2+1), hallamos la siguiente sucesión restando 6 a la anterior y así sucesivamente. Se observa que las sucesiones halladas (a excepción de la primera) coinciden con el segundo miembro de la segunda ecuación. Las sucesiones en las que todos sus términos positivos son múltiplos de 3 son las siguientes:

a_r1= 2^2n-1-5 para todo n≥2

a_r2= 2^2n-1-11 para todo n≥3

a_r3= 2^2n-1-17 para todo n≥3

a_r4= 2^2n-1-23 para todo n≥3

…………………

…………………

…………………

a_rm= 2^2n-1-(6m-1)

Todo impar múltiplo de 3 y por lo tanto todo impar múltiplo de 3^q, está en una de estas sucesiones. En las sucesiones están todos los impares múltiplos de 3 porque a las potencias de base 2 se le ha restado todos los impares que hacen que los términos positivos de las sucesiones sean múltiplos de 3.

De aquí se deduce que y₁= 6m-5 e y₂= 6m-1. Cada impar x tiene un único y₁ y cada impar y tiene un único y₂.

Por lo tanto las dos ecuaciones se transforman en:

x3^q= 2²ⁿ-(6m-5) e   y3^q=2^2n-1-(6m-1)

Cada impar que converge a 4,2,1 cumple una de las dos ecuaciones. Todo impar al multiplicarlo por 3^q se obtiene un múltiplo de 3^q que está en una de las sucesiones y por lo tanto en una de las dos ecuaciones. Todo impar cumple una de las dos ecuaciones y por ello converge a 4,2,1.

CONCLUSIÓN

Puesto que todo número entero positivo converge a 4,2,1 se concluye que la conjetura es correcta.

Teorema de Collatz: Para cualquier número natural n, si se aplica repetidamente la siguiente operación: dividir entre 2 si n es par, o multiplicar por 3 y sumar 1 si n es impar, se llega siempre al ciclo 4,2,1.

Francisco Colón Rosado

El tiempo y la Relatividad

EL TIEMPO

El tiempo es un movimiento repetitivo, cíclico, de duración ilimitada (el ciclo pasado, presente y futuro se sucede indefinidamente). Si a cada movimiento cíclico le asociamos un número natural, estaremos creando un sistema de referencia “tiempo” para cualquier acontecimiento. De esta manera el comienzo de todo suceso queda representado por un número y su final por otro número posterior. El tiempo medido, entre dos acontecimientos en un determinado sistema de referencia, es igual al tiempo transcurrido más la diferencia entre los tiempos de llegada de la información (del segundo y del primer acontecimiento) al sistema de referencia. Solamente medimos el tiempo transcurrido entre dos acontecimientos cuando el tiempo de llegada de la información del primer acontecimiento es el mismo que el tiempo de llegada del segundo acontecimiento. El tiempo transcurrido entre dos sucesos es el mismo para todos los sistemas de referencia, lo que es diferente es el tiempo que tarda en llegar la información a cada sistema de referencia. Si sincronizamos dos relojes y situamos cada uno en un sistema de referencia los relojes medirán tiempos diferentes, para un determinado fenómeno, por dos motivos:

1º. La señal de información tarda más tiempo en llegar a un sistema de referencia que al otro.

2º. Hay fuerzas externas que influyen en el funcionamiento de los relojes y son distintas para cada sistema de referencia.

Si las fuerzas externas son iguales para los dos sistemas de referencia (o no existen) y reunimos los dos relojes en un mismo sistema de referencia, los dos marcarán el mismo tiempo.

EL TIEMPO Y LA RELATIVIDAD

Sincronizamos dos relojes cuyo funcionamiento están basados principalmente en la cantidad de veces que la luz emitida recorre una determinada distancia y que un contador registra marcando un tiempo “t”. Uno de estos relojes lo dejamos en reposo en la superficie de la Tierra y otro lo situamos en un satélite que gira alrededor de la Tierra. Se ha comprobado que el reloj del satélite es más rápido que el otro situado en la superficie terrestre. El adelanto del reloj del satélite es de 38.000 nanosegundos por día.

EXPLICACIÓN

La fuerza de la gravedad y la fuerza centrífuga son perpendiculares a la tangente de la trayectoria del satélite y a la de la luz del reloj atómico situado en éste. La velocidad relativa V entre los sistemas de referencia satélite y Tierra es el resultado de la composición  de dos movimientos perpendiculares, uno rectilíneo uniforme producido por la velocidad tangencial del satélite (v) y el otro rectilíneo uniformemente acelerado provocado por la fuerza gravitatoria. La velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia es la resultante entre la velocidad tangencial del satélite  y la velocidad que produce la gravedad. 

V² =v² +v_g² = v²+2gr = v²+2GM/r siendo v_g² = 2gr, partiendo del reposo.

La luz del reloj atómico situado en el satélite y la del reloj situado en la superficie de la Tierra se desvían debido a dos fuerzas perpendiculares, la fuerza de la gravedad y la fuerza centrífuga. Por lo tanto podemos utilizar las transformaciones de Lorentz para relacionar los tiempos. Utilizando las ecuaciones de Lorentz que nos relacionan los tiempos para una misma distancia recorrida obtenemos:

t= t´ (1-V²/c²)^1/2 = t´ (1-(v²+2GM/r)/c²)^1/2 = t´ (1-v²/c²-2GM/rc²)^1/2

Que es la relación entre los tiempos propios, cuando uno de los sistemas de referencia está situado en un campo gravitatorio y el otro en un punto donde no actúen fuerzas externas, para una misma distancia recorrida. Siendo “t” el tiempo propio en cualquier punto del campo gravitatorio y “t´” el tiempo propio en un reloj no sometido a fuerzas externas. Siendo “t” inferior a “t´” debido a la disminución de la velocidad de la luz, utilizada para la medición del tiempo, en el reloj donde actúa la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga respecto del reloj situado en el lugar donde estas fuerzas están ausentes.

Por lo tanto la luz del reloj situado en la superficie terrestre tarda más tiempo en recorrer una misma distancia y su contador marca menos tiempo que el situado en el satélite.

Sabiendo que t= t´ (1-v²/c²-2GM/rc²)^1/2 y que

t = tiempo propio en cualquier punto del campo gravitatorio

t´= tiempo propio en un reloj no sometido a fuerzas externas

G = constante de gravitación universal

M = masa de la Tierra

r = distancia desde el punto a considerar hasta el centro de gravedad de la Tierra

c = velocidad de la luz en el vacío

v = velocidad tangencial del punto a analizar

Vamos a comparar los relojes con un reloj situado en un punto sin gravedad, el reloj está lo suficientemente alejado del campo gravitatorio como para que no se vea afectado por éste (el reloj no está sometido a fuerzas externas).

Si comparamos el reloj del satélite con el reloj no sometido a fuerzas externas para un tiempo, referente a este último reloj, de un día (86400 s) obtenemos:

t_s = 86400 (1-v_s²/c²-2GM/r_sc²)^1/2 = 86400 (1-3870²/8,98752x10¹⁶-

7,97209x10¹⁴/2,37049x10²⁴)^1/2 = 86400 (1-1,66641x10^-10-3,36306x10^-10)^1/2 =

= 86400 (1-5,02947x10^-10)^1/2 = 86399, 99998

La diferencia entre el tiempo del reloj del satélite y el reloj no sometido a fuerzas externas es:

D_s = 86400-86399,99998 = 2,1730x10^-5 s que es la desincronización (en forma de retraso) que tiene el reloj del satélite respecto al reloj de referencia.

Ahora hallaremos el tiempo del reloj situado en la superficie de la Tierra en el paralelo 40º:

t_t = 86400 (1-v_t²/c²-2GM/r_tc²)^1/2 = 86400 (1- 4,41474x10^-10)^1/2 = 86399,99994

La diferencia entre el reloj de la superficie terrestre a 40º de latitud y el reloj de referencia es:

D_t = 86400-86399,99994 = 6,0249x10^-5 s que es el retraso que tiene el reloj de la superficie terrestre respecto del reloj no sometido a fuerzas externas.

La resta entre los valores de D_t y D_s nos da el tiempo de retraso del reloj de la superficie terrestre respecto del reloj del satélite o el adelanto de este último respecto del primero. De esta manera obtenemos:

D_t – D_s = 6,0249x10^-5- 2,1730x10^-5 = 3,8520x10^-5 segundos por día, o lo que es lo mismo unos 38500 nanosegundos diarios.

La relación entre los tiempos propios de dos relojes situados a la distancia r_s y r_t del centro de gravedad de un campo gravitatorio es la siguiente:

t_t = t_s (1-2GM/r_tc²-v_t²/c²)^1/2/ (1-2GM/r_sc²-v_s²/c²)^1/2

Siendo v_s y v_t las velocidades tangenciales de los relojes situados a las distancias r_s y r_t respectivamente del centro de gravedad del campo gravitatorio y r_s superior a r_t.

En conclusión la gravedad,la fuerza centrífuga y la velocidad tangencial no influyen en el tiempo, sino en el funcionamiento de los relojes. Actúan fuerzas externas diferentes para cada reloj que provocan su desincronización.

TABLA DE DATOS

c = 2,99792 x 10⁸ m/s

G = 6,67266 x 10^-11

Masa de la Tierra = 5,97370 x 10²⁴ Kg

Radio de la Tierra = 6371000 m

Altitud del satélite = 20000000 m

Distancia del satélite al centro de la Tierra (r_s) = 2,63753 x 10⁷ m

Velocidad tangencial del satélite (v_s) = 3870 m/s

Radio de la Tierra en la latitud 40º (r_t) = 2,02014 x 10⁷ m

Velocidad tangencial de la superficie terrestre en la latitud 40º (v_t) = 4,63312 x 10² m/s

Relación entre los sistemas de referencia inerciales y no inerciales

INTRODUCCION

En el experimento de Michelson-Morley la distancia recorrida por la luz en la dirección del movimiento y la distancia recorrida por ésta en la dirección transversal al movimiento son iguales para el sistema de referencia “Tierra”, de ahí que tarde el mismo tiempo en recorrerla. El lugar donde se encuentra la fuente que produce la luz se puede considerar el origen del sistema de referencia “Tierra”. La distancia entre el origen y un punto cualquiera “A” de este sistema de referencia es la misma estando el sistema de referencia en reposo o si éste tiene movimiento rectilíneo uniforme (respecto de otro sistema de referencia). Si el origen del sistema de referencia se desplaza una distancia “d” en una determinada dirección y sentido, el punto “A” también recorre esa distancia en la misma dirección y sentido. Por lo tanto la distancia recorrida por la luz en el movimiento de ida es la misma que la recorrida en su movimiento de vuelta. El experimento de Michelson-Morley nos demuestra que la velocidad de la luz, para el sistema de referencia donde la fuente que la produce está en reposo, es la misma en todas direcciones. Para este sistema de referencia la velocidad de la luz es constante tanto si el sistema de referencia está en reposo como si éste tiene movimiento rectilíneo uniforme, respeto de otro sistema de referencia. Podemos decir que la velocidad de la luz es constante respecto al sistema de referencia donde se encuentra, en reposo, la fuente que la produce y en todos aquellos sistemas de referencia, con velocidades constantes lo unos respecto a los otros, donde llega la luz procedente de una fuente cualquiera. El experimento de Alvager que describo a continuación nos demuestra esta última afirmación.” Se aceleraron mesones pi (partículas nucleares que se desintegran en dos rayos gamma) hasta una velocidad muy cercana a la velocidad de la luz. Las mediciones del tiempo de vuelo entre dos detectores dieron una velocidad de “c” para los fotones emitidos por los mesones pi”. La velocidad de la luz es relativa si parte del origen común de los dos sistemas de referencia. Por consiguiente solamente podemos modificar las ecuaciones de Galileo de dos formas:

1ª. Incorporando la constancia de la velocidad de la luz, cuando parte de un punto “P” y llega al origen de los dos sistemas de referencia, que es la señal de información. Con lo cual la señal no llega instantáneamente, sino que tiene la velocidad de la luz en el vacío.

2ª. Modificando la dirección de la velocidad del sistema de referencia o la dirección de la velocidad del cuerpo. Si la fuerza que provoca el cambio de dirección forma un ángulo recto con las direcciones anteriormente citadas, obtenemos las transformaciones de Lorentz, pero siendo la velocidad de la luz nuestra señal de información.

RELACIÓN ENTRE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ Y LAS ECUACIONES DE GALILEO

Si profundizamos en las transformaciones de Lorentz llegamos a las siguientes conclusiones:

1ª. Las ecuaciones de Galileo: x´= x-vt, y=y´ y z=z´ solamente son válidas cuando los sistemas de referencias son inerciales y la velocidad de la señal de información se considere instantánea.

2ª. Las anteriores ecuaciones de Galileo hay que modificarlas, ya que la señal de información es la velocidad de la luz en el vacío. Puesto que “x” es invariable y la velocidad relativa también, entonces es el tiempo el único factor que varía. Por consiguiente la nueva ecuación es x´= x-αvt y como sabemos que x =ct, x´= ct´ y t´= αt deducimos lo siguiente:

x´= x-αvt

ct´= ct-αvt

cαt = t(c-αv)

cα = c-αv

α (c+v) = c

α= c/(c+v)

Por lo tanto las ecuaciones son las siguientes:

x´= x-cvt/(c+v) , x = x´+ vt´

y´ = y, y = y´

z´= z, z = z´

t´= ct/(c+v) si ∆x =0, t = (c+v)t´/c

3ª. ¿Qué ocurre si aplicamos una fuerza constante perpendicular a la dirección de la velocidad del sistema de referencia (y a la dirección de la velocidad del cuerpo) que produce en el sistema de referencia un cambio de dirección y de velocidad constante (es decir, el sistema de referencia pasa de una velocidad constante a otra velocidad constante?

Lo que ocurre es que el cuerpo recorre una distancia mayor a la misma velocidad, lo que equivale a una disminución de la velocidad del cuerpo para una misma distancia recorrida.

¿Qué relación hay entre la distancia recorrida por el cuerpo cuando su dirección es perpendicular a la dirección de la velocidad del sistema de referencia, que está cambiando de velocidad constante, respecto de la distancia recorrida por el cuerpo a velocidad constante cuando el sistema de referencia tiene movimiento rectilíneo uniforme? Es decir, qué relación existe con las distancias, velocidades y tiempo entre las transformaciones de Lorentz y las ecuaciones de Galileo. Del siguiente triángulo rectángulo :

x´_L = v₁t , es la hipotenusa

x´_{G , cateto mayor}

V.t, cateto menor

Podemos deducir que x_G´= t (v₁²-V²)^1/2 y x´_L= v₁t siendo “V” la velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia y v₁ la velocidad del cuerpo. Y relacionándolas nos queda x´_L/x_´G = v₁t/t (v₁²-V²)^1/2 de donde:

x´_L= v₁x´_G/ (v₁²-V²)^1/2 = x´_G/ (1-V²/v₁²)^1/2 y como la señal de información es la luz, que tiene la misma velocidad en el vacío para todos los sistemas de referencia con movimientos rectilíneos uniformes, entonces podemos sustituir la velocidad del cuerpo por la velocidad de la luz; puesto que nos informa de la posición del cuerpo, la distancia recorrida y el tiempo que tarda en recorrerla. De esta forma obtenemos:

x´_L = x´_G/ (1-V²/c²)^1/2

Siendo:

x´_L = distancia recorrida por un cuerpo (incluido la luz) en el sistema de referencia S´ en las transformaciones de Lorentz.

c = velocidad de la luz en el vacío.

x´_G = distancia recorrida por cualquier cuerpo en el sistema de referencia S´ en las ecuaciones de Galileo.

V = velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia con movimientos rectilíneos uniformes.

En definitiva, podemos decir que las transformaciones de Lorentz son las ecuaciones de Galileo cuando el ángulo formado por la dirección de la velocidad del sistema de referencia (o la dirección de la velocidad del cuerpo) y la dirección de la fuerza que provoca su cambio de dirección es de 90 grados.

Podemos generalizar los resultados para cualquier ángulo α. Para ello partiremos de la suma de dos vectores:

(ct₁)² = x´_G² + (Vt₁)²+2x´_GVt₁cosα

Siendo uno de los vectores x´_G, el otro Vt₁, el vector resultante x´_α = ct₁ y α el ángulo entre los dos vectores.

Y despejando x´_G obtenemos:

x´_G = (-Vcosα + (V² (cos²α-1) +c²)^1/2)t₁

Y ahora relacionamos x´_G con x´_α

x´_α/x´_G = ct₁/ (-Vcosα+ (V²(cos²α-1)+c²)^1/2)t₁ de donde

x´_α =cx´_G/ (-Vcosα+ (V²(cos²α-1)+c²)^1/2)= x´_G/ (-Vcosα/c+ (V²(cos²α-1)/c² +1)^1/2)

x´_α = distancia recorrida por el cuerpo y por la luz en el sistema de referencia S´ para las transformaciones α. Siendo α el ángulo formado por la dirección del sistema de referencia con movimiento rectilíneo uniforme (o la dirección de la velocidad del cuerpo) y la dirección de la fuerza que provoca su cambio de dirección. O lo que es lo mismo: ángulo formado por la dirección de la fuerza aplicada al cuerpo y la dirección de la fuerza que provoca su cambio de dirección.

Por lo tanto las nuevas transformaciones o ecuaciones α de Galileo son las siguientes:

x´_α = (x-Vt)/ (-Vcosα/c + (V²(cos²α-1)/c² +1)^1/2)

y´_α = y

z´_α = z

t´_α = t (-Vcosα/c + (V²(cos²α-1)/c² +1)^1/2) cuando ∆x=0

Si “c” se considera infinita o instantánea, obtenemos las ecuaciones de Galileo.

Si V=0 se obtiene las ecuaciones de Galileo en el sistema de referencia S´, sistema de referencia propio, que coincide con el sistema de referencia S.

Cuando α=0, x´₀ =(x-Vt)/ (1-V/c) con lo cual el cambio de velocidad del sistema de referencia y la velocidad del cuerpo tienen la misma dirección y sentido. La distancia recorrida por el cuerpo aumenta respecto a la distancia recorrida en las ecuaciones de Galileo (x´₀ es mayor que x´_G). Como ejemplo tenemos al tren con movimiento rectilíneo uniforme que aumenta de velocidad en la misma dirección, pasa de una velocidad inicial a otra final, con un hombre caminando dentro del tren a una velocidad constante en la misma dirección y sentido que el tren.

Cuando α= 90, x´₉₀ = (x-Vt)/ (1-V²/c²)^1/2 con lo que se obtiene las transformaciones de Lorentz.

Si α = 180 entonces x´₁₈₀ = (x-Vt)/ (1+V/c) y por lo tanto en este caso el cambio de velocidad del sistema de referencia y la velocidad del cuerpo tienen la misma dirección y sentido contrario. La distancia recorrida por el cuerpo disminuye respecto a la distancia recorrida en las ecuaciones de Galileo (x´₁₈₀ es menor que x´_G). Podemos poner el ejemplo del tren con movimiento rectilíneo uniforme que disminuye de velocidad en la misma dirección, con un hombre corriendo en su interior a una velocidad constante en la misma dirección y sentido que el tren.

Experimento de Fizeau

Un rayo de luz parte de una fuente emisora, se divide en dos y llega por reflexiones a un interferómetro después de recorrer cada rayo una distancia igual al otro y un tramo igual de agua. Cuando el agua está en reposo los dos rayos llegan a la vez, pero al circular el agua a través de la tubería a velocidad V el rayo 1 se frenará, puesto que el agua circula en sentido contrario al de la luz, y el rayo 2 se acelerará ya que el agua fluye en la misma dirección y sentido que la luz.

DEMOSTRACIÓN

He considerado la hipótesis que la velocidad de la luz en un medio en movimiento, respecto al medio en reposo, disminuye o aumenta en la misma proporción (α) que lo hace en un medio en reposo respecto al vacío, puesto que la fuerza de resistencia del medio (que produce la disminución de la velocidad de la luz respecto del vacío) es la misma en ambas situaciones. Esto es debido al aumento del ángulo de refracción que sufre la luz cuando se desplaza de un medio en reposo a un medio en movimiento. Con lo cual hay una disminución de la velocidad de la luz, todo esto ocurre si la velocidad del medio tiene la misma dirección y sentido que la velocidad de la luz. Tendrá lugar un aumento de la velocidad de la luz, en la misma proporción, si la velocidad del medio tiene la misma dirección pero sentido contrario que la velocidad de la luz. Cuando un medio pasa del reposo a una velocidad constante surgen las correspondientes fuerzas de inercia. Si la velocidad de la luz tiene la misma dirección y sentido que la velocidad del medio, entonces la velocidad de la luz respecto al sistema de referencia “Tierra” será la velocidad de la luz en el medio en reposo más la velocidad relativa entre la tierra y el medio menos la diferencia de velocidad que tiene la luz en el medio en reposo respecto del medio en movimiento, provocada por la fuerza de inercia. Si la velocidad de la luz tiene la misma dirección pero sentido contrario que la velocidad del medio, ocurrirá que la velocidad de la luz que se obtendría sería la resta entre la velocidad de la luz en el medio en reposo y la velocidad del medio, más la diferencia de velocidad de la luz en un medio en reposo respecto del medio en movimiento a velocidad constante (la fuerza de inercia tiene la misma dirección y sentido que la velocidad de la luz). Todo esto hace que disminuya la velocidad relativa y por consiguiente nos quede:

C_w1 = cα + (V – V_m)

C_w2 = cα – (V – V _m)

Siendo:

C_w1 = velocidad de la luz que tiene la misma dirección y sentido que la velocidad del medio.

C_w2 = velocidad de la luz que tiene la misma dirección y sentido contrario a la velocidad del medio.

c = velocidad de la luz en el vacío.

α = w/c, es la cantidad de veces que es menor la velocidad de la luz en el medio que en el vacío.

V = es la velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia.

V _m = es la disminución de la velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia cuando la luz se desplaza en un medio en movimiento, debido a un aumento de la refracción de la luz (si la velocidad del medio tiene la misma dirección y sentido que la velocidad de la luz) o a una disminución de la refracción de la luz si la velocidad del medio tiene la misma dirección y sentido contrario a la velocidad de la luz.

Puesto que la disminución de la velocidad relativa es directamente proporcional al aumento o disminución de la refracción (según el caso) entonces podemos relacionar la velocidad relativa (V) con la disminución de ésta (V_m) mediante el índice de refracción de la luz, en nuestro caso mediante el inverso de este índice. V_m = α² V, puesto que la luz en un medio en movimiento sufre dos refracciones:

1ª. La correspondiente a un cambio del medio, cuando el medio está en reposo relativo.

2ª. Un aumento o disminución de la refracción (según que la velocidad del medio tenga la misma dirección y sentido que la velocidad de la luz o tenga la misma dirección y sentido contrario) en la misma proporción que la anterior, cuando el medio está en movimiento.

El aumento de la velocidad del medio produce un aumento o disminución de la refracción de la luz, según lo explicado anteriormente. El aumento o disminución de la refracción, según el caso, es directamente proporcional a la velocidad del medio.

En definitiva las velocidades son las siguientes:

C_w1 = w + (V – w²V /c²)

C_w2 = w – (V – w²V/c²)

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NOTA:

Para más exactitud lo que ocurre es una disminución de la velocidad de la luz en el medio, cuando la velocidad del medio tiene la misma dirección y sentido que la velocidad de la luz, debido a un aumento de la refracción de ésta producida por la fuerza de inercia (este aumento de la refracción o disminución de la velocidad de la luz es directamente proporcional a la velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia y cuyo valor es: α²V). Sin embargo tiene lugar un aumento de la velocidad de la luz en el medio, cuando la velocidad del medio tiene la misma dirección pero sentido contrario que la velocidad de la luz, debido a una disminución de la refracción de ésta producida por la fuerza de inercia; teniendo el mismo valor que en el caso anterior, es decir, α²V. Todo esto equivale a una disminución de la velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia en la cantidad mencionada anteriormente.

El Universo y sus Leyes

He considerado la hipótesis que el Universo tiene su comienzo en un espacio eterno e infinito, el vacío, y con una sola regla de juego: el movimiento. ¿Qué ocurrió en el vacío para que surgiera la materia, esta inmensa cantidad de partículas que pueblan este rompecabezas llamado Cosmos? Siguiendo con mi hipótesis de trabajo he supuesto que hubo multitud de zonas muy pequeñas de vacío que empezaron a rotar sobre sí mismas a una velocidad angular constante (probablemente equivalente a una velocidad lineal aproximada de 300000 km/s); fue el nacimiento de la materia. Por consiguiente la materia sería "vacío fuertemente concentrado" debido a su gran velocidad de giro. Observamos que del vacío no ha surgido una nueva realidad, sino un estado diferente de la misma realidad. Inevitablemente quedan muchas dudas que resolver: ¿Qué tipo de diferencia hubo en el vacío para que se presentara el movimiento? ¿Por qué surgió en unas zonas determinadas y en otras no? ¿Estas diferencias en el vacío, existieron siempre o comenzaron en un instante determinado? Éstas y otras muchas son preguntas que necesariamente tendría que resolver la Ciencia, en el caso de que esta hipótesis fuese correcta, si queremos seguir profundizando en los misterios del Cosmos.
La constancia de la velocidad de la luz en el vacío, respecto de la fuente que la origina, nos indica que la fuerza que aplica cada unidad de partícula al colisionar con otras es la misma independientemente del objeto emisor de luz. Es decir, que la fuerza por unidad de partícula es constante. Una posible explicación a este fenómeno es admitir que la unidad de partícula, a la que podemos llamar fotón elemental, sea idéntica en todo el Universo. ¿Qué fuerza transmite este fotón elemental en su movimiento de rotación? ¿Cómo transmite la fuerza? ¿Cuál es la ley que gobierna esta transmisión? El giro del fotón elemental produce una fuerza constante en todas direcciones a partir del punto de rotación. Esta fuerza se propaga al vacío circundante y produce en éste movimiento. Con lo cual, si la hipótesis es correcta, el vacío se mueve. Los dos experimentos que expongo a continuación parecen indicar que esta afirmación pudiera ser cierta. En el primer experimento tenemos dos partículas separadas por el vacío y ejerciéndose fuerzas entre sí, sin que haya contacto entre ellas. Obligatoriamente las transmisiones de las fuerzas se harán a través del vacío, puesto que es lo único que separa a ambas partículas. Como consecuencia, toda transmisión de fuerzas entre partículas separadas por un determinado medio, sin que exista contacto entre ellas, exige necesariamente el movimiento de dicho medio. Sabemos que todo cuerpo está formado por partículas y vacío. Si este cuerpo se desplaza con respecto a un determinado sistema de referencia, no solamente se mueven las partículas que lo componen sino también el vacío que se encuentra dentro de él; este sería el segundo experimento. Estos dos experimentos se interpretan actualmente mediante la Teoría de Campos. Las partículas modifican el campo gravitatorio, eléctrico-magnético... Y esa modificación explica la interacción. Pero, si profundizamos en la Teoría de Campos es posible que lleguemos a la conclusión que esa modificación consiste en el movimiento del medio que rodea a las partículas.
Todas las partículas estarían compuestas de la unión de los fotones elementales. ¿Cuál podría ser la ley que describiera la interacción entre partículas en el vacío, sin que hubiera contacto entre ellas? Cada punto de la partícula con movimiento de rotación aplica dos fuerzas de igual módulo y perpendiculares entre sí. La fuerza aplicada es directamente proporcional a la masa y a la velocidad angular de la partícula. La primera fuerza(F1) tiene la dirección tangente a la trayectoria en el punto considerado y sentido el del movimiento de rotación de la partícula. La segunda fuerza (F2) tiene la dirección perpendicular a la primera y el sentido hacia afuera del punto de rotación de la partícula. A medida que nos alejamos del punto de rotación va aumentando la superficie de vacío sobre la cual se ejerce la fuerza, y como el valor de la fuerza se mantiene constante, la fuerza por unidad de superficie va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al punto de rotación. Con lo cual la intensidad de la fuerza es directamente proporcional al producto de su masa por la velocidad angular e inversamente proporcional a la superficie de la esfera de radio "r". Esta fórmula nos indica el valor de la fuerza por unidad de superficie de vacío que se transmite a una distancia "r" del punto o eje de rotación de la partícula, es decir, el valor que tienen las dos fuerzas descritas anteriormente a la distancia r considerada. Esta fórmula, si es correcta, podría llamarse "ley de la dinámica del vacío" y nos indicaría cómo se propaga la fuerza de una partícula, a velocidad finita, a través del vacío. Si analizamos la interacción de dos partículas que rotan en el mismo sentido, separadas por el vacío, nos encontramos con que cada partícula aplica sobre la otra dos fuerzas constantes iguales en módulo y perpendiculares entre sí. Las fuerzas se transmiten a través del vacío y colisionan con las fuerzas de la otra partícula, produciéndose un punto donde se equilibran las fuerzas F2 de ambas partículas. Al mismo tiempo las fuerzas F1 hacen girar a las partículas alrededor del punto de equilibrio. Cada una de las partículas mantiene su individualidad, ya que poseen su propio campo de fuerza; pero también forman una unidad puesto que las dos dan lugar a otro campo de fuerza común. Si las dos partículas giran sobre sí mismas en distintos sentidos entonces las partículas se trasladarán juntas en una dirección perpendicular a la recta que une los puntos de rotación de las partículas y cuyo sentido sería hacia la izquierda o derecha de esta recta. Podemos deducir que la fuerza que aplica cada partícula es directamente proporcional al producto de las dos masas por la velocidad angular de la partícula que aplica la fuerza, e inversamente proporcional a la superficie de la esfera cuyo radio es la distancia entre el punto de rotación de la partícula y el punto de equilibrio entre ambas.