Demostración elemental del último teorema de Fermat

 

Enunciado: La ecuación xⁿ+yⁿ=zⁿ no tiene soluciones enteras positivas para x,y,z si el exponente n es cualquier número entero mayor que 2.

Demostración

Proposición: Al descomponer una potencia en un producto de dos factores, si uno de ellos es primo el otro factor es múltiplo de éste. El producto de un número primo por otro factor es una potencia enésima perfecta cuando el segundo factor contiene al número primo elevado a (n-1) y a los demás factores primos con exponentes múltiplos de n: p(p^n-1kⁿ)

Sabiendo que:

xⁿ=zⁿ-yⁿ=(z-y)(z^n-1+yz^n-2+y²z^n-3+…..+y^n-1)

1. Si el primer factor de la ecuación, z-y,es un número primo sabemos por la proposición que el segundo factor es divisible entre el primero.

Utilizando el teorema del resto:

R=P(y)=y^n-1+yy^n-2+y²y^n-3+...+y^n-1=ny^n-1≠0, siendo P(z) = z^n-1+yz^n-2+y²z^n-3+…..+y^n-1

Luego si (z-y) es un número primo no se cumple la igualdad, puesto que P(z) no es divisible entre (z-y)

2. Si (z-y) es un número compuesto, (z-y)=mp, siendo p un número primo y m un número entero positivo >1. Con lo cual:

xⁿ=zⁿ-yⁿ=(z-y)(z^n-1+yz^n-2+y²z^n-3+…..+y^n-1)

xⁿ=mp(z^n-1+yz^n-2+y²z^n-3+…..+y^n-1)=p(mz^n-1+myz^n-2+my²z^n-3+…..+my^n-1)

Al introducir m en el segundo factor, el primer factor (z-y) vuelve a ser primo.

Por lo tanto: (z-y) =p y P(z)= mz^n-1+myz^n-2+my²z^n-3+…..+my^n-1 y estaríamos en el caso 1:

R=P(y)=my^n-1+myy^n-2+my²y^n-3+...+my^n-1=mny^n-1≠0

Por lo que si (z-y) es compuesto tampoco se cumple la igualdad.

3. Si (z-y)=1

Partiendo de la ecuación: xⁿ+yⁿ=zⁿ , utilizaremos la siguiente expresión:

yⁿ=zⁿ-xⁿ =(z-x)(z^n-1+xz^n-2+x²z^n-3+…..+x^n-1)

Si (z-x) es primo estaríamos en el caso 1 y si (z-x) es compuesto en el caso 2.

Si z-y=1, (z-x)≠1, ya que:

z-y=1

z-x=1, x=y

Sustituyendo:

zⁿ-yⁿ=yⁿ

zⁿ=2yⁿ

z=y2^1/n, z sería irracional

Conclusión :

Puesto que se ha demostrado que para todos los posibles casos de (z-y) y (z-x) la igualdad no se cumple, se concluye que el Último Teorema de Fermat es correcto.