Conjetura de los números perfectos impares

 

I. Introducción

Desde el descubrimiento de los números perfectos, hace algunos miles de años, los matemáticos han sentido verdadera fascinación por ellos. Se sabe que todo número perfecto par termina en 6 u 8 y que cada uno de ellos (excepto el 6) puede expresarse como la suma de los cubos de los primeros números impares consecutivos. Hay dos cuestiones importantes abiertas que quedan por resolver: ¿hay infinitos números perfectos? Y ¿existen los números perfectos impares?

II. Definición de número perfecto

Un número perfecto es un número entero positivo que es igual a la suma de todos sus divisores propios positivos.

III. ¿Existen los números perfectos impares?

Todo número entero positivo impar compuesto se puede descomponer en un producto de una potencia de base un número primo impar por un número impar primo (N=p^αP) o de una potencia de base un número primo impar por un número impar compuesto (N=p^αx).

1. Sea N=p^αP

Para que N sea un número perfecto se tiene que cumplir:

s(N)=p^αP

(1+p+p²+…...+p^α) +P+pP+p²P+….+p^α-1P=p^αP

(1+p+p²+…...+p^α) +P(1+p+p²+….+p^α-1)=p^αP

(p^α+1-1)/(p-1) +P( (p^α-1)/(p-1))= p^αP (1)

Proposición : si la suma de n sumandos es múltiplo de x y uno de los sumandos es múltiplo de x, entonces la suma del resto de los sumandos es múltiplo de x.

Demostración

Sea S la suma de los n sumandos y sean a₁,a₂,…..,a_n los sumandos, S=a₁+a₂+…..+a_n

Se establece que S es múltiplo de x: S=xk, para algún número entero positivo k.

Supongamos que a₁ es múltiplo de x, es decir, que a₁=xm, para algún entero positivo m. Como la suma S=a₁+(a₂+…...+a_n) y sustituyendo S y a₁ por su valor se obtiene:

xk=xm+(a₂+….+a_n), restando xm de ambos miembros se tiene: xk-xm=a₂+….+a_n

x(k-m)=a₂+….+a_n, dado que k y m son enteros positivos, la diferencia k-m también es un entero positivo. Por lo tanto, la suma del resto de los sumandos a₂+….+a_n es igual a x multiplicado por un número entero positivo, lo que demuestra que es un múltiplo de x.

Utilizando la anterior proposición en la igualdad (1) se obtiene que (p^α+1-1)/(p-1) tiene que ser múltiplo de P, es decir:

(p^α+1-1)/(p-1)=(k-m)P=(p^α -(p^α-1)/(p-1))P, siendo k=p^α y m=(p^α-1)/(p-1)

(p^α+1-1)/(p-1) =((p^α+1-2p^α+1)/(p-1))P

P=(p^α+1-1)/(p^α+1-2p^α+1), que no es divisible ya que el residuo de la división no es cero. Por lo tanto no existiría P, salvo que k-m=1 que cumpliría la igualdad:

p^α+1-2p^α+1=p-1 p^α+1-2p^α-p+2=0

p^α(p-2)-(p-2)=(p^α-1)(p-2)=0

1) p^α-1=0 p^α=1 p=1, α=1, que no es solución porque p no es primo.

2) p-2=0 p=2, que se comprueba que se cumple para todo α ϵ a Z⁺.

La única solución de la ecuación en la que p es un número primo y α ϵ a Z⁺ es p=2. Por lo tanto N no puede ser impar. Para que sea un número perfecto N tiene que ser par.

Por lo que:

(p^α+1-1)/(p-1)=P

2^α+1-1=P y por ello el número perfecto es N=2^α(2^α+1-1)

2. Sea N=p^αx

Para que N sea perfecto:

s(N)=p^αx

(1+p+p²+…...+p^α) +(x+px+p²x+….+p^α-1x) + S(suma otros divisores)=p^αx

(1+p+p²+…...+p^α) +x(1+p+p²+….+p^α-1) +S(suma otros divisores) =p^αx

σ(p^α)+xσ(p^α-1)+S(suma de otros divisores)=p^α

Puesto que:

σ(p^α)=(p^α+1-1)/(p-1) se cumple para todo α

xσ(p^α-1)=x( (p^α-1)/(p-1)) se cumple para todo α

S(suma de otros divisores) = S(suma de otros divisores)

Sumando miembro a miembro se obtiene la igualdad:

σ(p^α)+xσ(p^α-1)+S(suma de otros divisores)=(p^α+1-1)/(p-1) +x( (p^α-1)/(p-1)) +S(suma otros divisores) =p^αx que también se cumple para todo α.

(p^α+1-1)/(p-1) +x( (p^α-1)/(p-1)) +S(suma otros divisores) = p^αx (2)

Utilizando la proposición:

(p^α+1-1)/(p-1) +S(suma otros divisores)=tx, ya que es múltiplo de x. Sustituimos en la ecuación 2:

tx+x( (p^α-1)/(p-1))=p^αx

x(t+(p^α-1)/(p-1))=p^αx

t+(p^α-1)/(p-1)=p^α

p^σ+1-2p^α-t(p-1)+1=0

p^α(p-2)-t(p-1)+1=0, puesto que la igualdad se cumple para todo α:

a) p-2=0 p=2 -t(2-1)+1=0 t=1, solución: p=2, t=1

b) p-1=0 p=1, no tiene solución ya que 1 no es primo.

La única solución es p=2, t=1, que ya sabemos que por ser N par cumple el teorema de Euclides-Euler. Por lo que x necesariamente tiene que ser primo y no hay otros divisores.

3. De los apartados anteriores se deduce que para que un número N sea perfecto tiene que cumplir las siguientes condiciones:

a) N=p^αP

b) P=σ(p^α)=(p^α+1-1)/(p-1)

c) σ(p^α-1)+1=p^α (p^α-1)/(p-1) +1=p^α p^α+1-2p^α-p+2=0

Se factoriza: p^α(p-2)-(p-2)=(p^α-1)(p-2)=0

1) p^α-1=0 p^α=1 p=1, α=1, que no es solución porque p no es primo.

2) p-2=0 p=2, que se comprueba que se cumple para todo α ϵ a Z⁺:

2^α+1-2^α2-2+2=2^α+1-2^α+1-2+2=0

Luego: p=2, es la única solución para un valor primo de p y para todo α ϵ a Z⁺

IV. Conclusión

Todos los números perfectos son pares y se obtienen utilizando el Teorema de Euclides-Euler:

N=2^α(2^α+1-1), siendo 2^α+1-1 un número primo.