Tomemos la función P(x) = 2,3 x(1-x). Elijamos un valor de x comprendido en el intervalo (0,1) y hallemos P(x). Con el resultado obtenido volvemos a repetir la operación y así sucesivamente. Se observa que comience por cualquier valor inicial entre 0 y 1, siempre se obtiene el número 0,565217. Ejemplo: x = 0,32 P(0,32) = 0,50048 P(0,50048) = 0,574999 P(0,574999) = 0,562062 y después de unas cuantas repeticiones llegamos a P(0,565217) = 0,565217.
Solución
Utilizando
el método de los períodos para período uno o punto fijo se
obtiene:
Pt
(k) = Pt+1 (k), siendo k un número real del
intervalo (0,1) y t el número de reiteraciones.
2,3k(1-k)
= 2,3 [ 2,3k(1-k)] – 2,3[2,3k(1-k)]2
2,3k(1-k)
= 2,3 (2,3k – 2,3k2 ) - 2,3 (2,3k – 2,3k2
)2
2,3k
– 2,3k2 = 5,29k – 5,29k2 – 2,3(5,29k2
+ 5,29k4 – 10,58k3 )
2,3k
– 2,3k2 = 5,29k – 5,29k2 – 12,167k2
– 12,167k4 + 24,334k3
12,167k4
– 24,334k3 + 15,157k2 – 2,99k = 0
k(
12,167k3 – 24,334k2 + 15,157k – 2,99 ) = 0
k =
0, no es solución por no pertenecer al intervalo (0,1)
12,167k3
– 24,334k2 + 15,157k – 2,99 = 0
De
donde K = 0,565217, única solución perteneciente al intervalo (0,1)
Si
escogemos la función T(x) = 4x(1-x) y hacemos la misma operación
que en el caso anterior, no obtenemos ningún tipo de periodos.
REITERACIÓN DE LA FUNCIÓN COSENO
Pon la calculadora en
modo radián. Elige un valor cualquiera, excepto el cero, y aprieta
sucesivamente la tecla “cos”. Aparece una serie que al llegar a
unas 50 iteraciones (pulsaciones de la tecla) converge a 0,739085133.
Solución
Llamemos T(x) = cosx y
utilizando el método de los períodos para período uno o punto fijo
obtenemos :
TP (k) = TP
+1 (k), siendo k un número perteneciente al dominio de la
función y p el número de reiteraciones.
cos k = cos(cosk)
cos k = k
k = 0,739085133
Conclusión:
Estas
aplicaciones iterativas son predecibles, conociendo solamente las
condiciones o valores iniciales o independientemente de éstos, si
convergen hacia un determinado período. Si las aplicaciones
iterativas no tienen período, no son predecibles.
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