Conjetura de los números perfectos impares

I. Introducción

Desde el descubrimiento de los números perfectos, hace algunos miles de años, los matemáticos han sentido verdadera fascinación por ellos. Se sabe que todo número perfecto par termina en 6 u 8 y que cada uno de ellos (excepto el 6) puede expresarse como la suma de los cubos de los primeros números impares consecutivos. Hay dos cuestiones importantes abiertas que quedan por resolver: ¿hay infinitos números perfectos? Y ¿existen los números perfectos impares?

II. Definición de número perfecto

Un número perfecto es un número entero positivo que es igual a la suma de todos sus divisores propios positivos.

III. ¿Existen los números perfectos impares?

Todo número entero positivo impar compuesto se puede descomponer en un producto de una potencia de base un número primo impar por un número impar primo (N=p^αP) o de una potencia de base un número primo impar por un número impar compuesto (N=p^αx).

1. Sea N=p^αP

Para que N sea un número perfecto se tiene que cumplir:

s(N)=p^αP

(1+p+p²+…...+p^α) +P+pP+p²P+….+p^α-1P=p^αP

(1+p+p²+…...+p^α) +P(1+p+p²+….+p^α-1)=p^αP

(p^α+1-1)/(p-1) +P( (p^α-1)/(p-1))= p^αP

Para que la igualdad se cumpla (p^α+1-1)/(p-1) tiene que ser P o múltiplo de P, es decir:

(p^α+1-1)/(p-1)=mP, con lo que:

mP+P((p^α-1)/(p-1))=p^αP

P(m+(p^α-1)/(p-1))=p^αP

m+(p^α-1)/(p-1)=p^α m(p-1)+p^α-1=p^α+1-p^α

p^α+1-2p^α-m(p-1)+1=0

p^α(p-2)-m(p-1)+1=0

La igualdad tiene que ser cierta para cualquier α que elijamos, es decir, la ecuación debe cumplirse para todo α.

La única solución de la ecuación en la que p es un número primo y m ϵ a Z⁺ es p=2, m=1. Por lo tanto N no puede ser impar. Para que sea un número perfecto N tiene que ser par.

Por lo que:

(p^α+1-1)/(p-1)=mP

2^α+1-1=P y por ello el número perfecto es N=2^α(2^α+1-1)

2. Sea N=p^αx

Para que N sea perfecto:

s(N)=p^αx

(1+p+p²+…...+p^α) +(x+px+p²x+….+p^α-1x) + S(suma otros divisores)=p^αx

(1+p+p²+…...+p^α) +x(1+p+p²+….+p^α-1) +S(suma otros divisores) =p^αx

(p^α+1-1)/(p-1) +x( (p^α-1)/(p-1)) +S(suma otros divisores) = p^αx

Para que la igualdad sea cierta:

(p^α+1-1)/(p-1) +S(suma otros divisores)=mx, ya que tendría que ser x o múltiplo de x.

mx+x( (p^α-1)/(p-1))=p^αx

x(m+(p^α-1)/(p-1))=p^αx

m+(p^α-1)/(p-1)=p^α, que es la misma ecuación del apartado 1.La única solución es p=2, m=1, que ya sabemos que por ser N par cumple el teorema de Euclides-Euler. Por lo que x necesariamente tiene que ser primo y no hay otros divisores.

3. De los apartados anteriores se deduce que para que un número N sea perfecto tiene que cumplir las siguientes condiciones:

a) N=p^αP

b) P=σ(p^α)=(p^α+1-1)/(p-1)

c) σ(p^α-1)+1=p^α (p^α-1)/(p-1) +1=p^α p^α+1-2p^α-p+2=0

Se factoriza: p^α(p-2)-(p-2)=(p^α-1)(p-2)=0

1) p^α-1=0 p^α=1 p=1, α=1, que no es solución porque p no es primo y no se cumple para todo α.

2) p-2=0 p=2, que se comprueba que se cumple para todo α ϵ a Z⁺:

2^α+1-2^α2-2+2=2^α+1-2^α+1-2+2=0

Luego: p=2, es la única solución para un valor primo de p y para todo α ϵ a Z⁺

4. Conclusión

Todos los números perfectos son pares y se obtienen utilizando el Teorema de Euclides-Euler:

N=2^α(2^α+1-1), siendo 2^α+1-1 un número primo.